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Solución del ejercicio n° 20 de recta tangente y plano normal. Intersección de curva y plano. Derivada direccional. Problema resuelto.Ejemplo, cómo hallar la recta tangente a una curva

Problema n° 20 de funciones de varias variables

Problema n° 20

Escribir la ecuación de la recta tangente a la curva (1, t, t²) en la intersección P de la curva con la esfera de ℜ³, de centro en el origen y radio 1. Mostrar que la curva se encuentra sobre el plano tangente a la esfera en P.

Desarrollo

Fórmulas:

Plano: Z·X'(t) = X(t)·X'(t)

Recta: Z = X(t) + μ·X'(t)

Solución

Debe verificar:

x = 1

y = t

z = t²

1² + t² + t4 = 1

1 + t²·(1 + t²) = 1

t²·(1 + t²) = 0

t = 0

El punto será:

X(0) = (1, 0, 0)

P = (1, 0, 0)

El gradiente es:

∇ƒ(x, y, z) = (2·x,2·y,2·z)

El valor del gradiente en el punto:

∇ƒ(1, 0, 0) = (2·1, 2·0, 2·0) ⇒ ∇ƒ(1, 0, 0) = (2, 0, 0)

La ecuación del plano normal es:

X·∇ƒ(1, 0, 0) = (1, 0, 0)·∇ƒ(1, 0, 0)

(x, y, z)·(2, 0, 0) = (1, 0, 0)·(2, 0, 0)

2·x = 2

x = 1

La ecuación de la recta es:

X'(t) = (0, 1, 2·t)

X'(0) = (0, 1, 0)

X = P + μ·X'(0)

(x, y, z) = (1, 0, 0) + μ·(0, 1, 0)

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