Problema n° 20 de funciones de varias variables - TP06
Enunciado del ejercicio n° 20
Escribir la ecuación de la recta tangente a la curva (1, t, t²) en la intersección P de la curva con la esfera de ℜ³, de centro en el origen y radio 1. Mostrar que la curva se encuentra sobre el plano tangente a la esfera en P.
Desarrollo
Fórmulas:
Plano: Z·X'(t) = X(t)·X'(t)
Recta: Z = X(t) + μ·X'(t)
Solución
Debe verificar:
x = 1
y = t
z = t²
1² + t² + t4 = 1
1 + t²·(1 + t²) = 1
t²·(1 + t²) = 0
t = 0
El punto será:
X(0) = (1, 0, 0)
P = (1, 0, 0)
El gradiente es:
∇f(x, y, z) = (2·x,2·y,2·z)
El valor del gradiente en el punto:
∇f(1, 0, 0) = (2·1, 2·0, 2·0)
∇f(1, 0, 0) = (2, 0, 0)
La ecuación del plano normal es:
X·∇f(1, 0, 0) = (1, 0, 0)·∇f(1, 0, 0)
(x, y, z)·(2, 0, 0) = (1, 0, 0)·(2, 0, 0)
2·x = 2
x = 1
La ecuación de la recta es:
X'(t) = (0, 1, 2·t)
X'(0) = (0, 1, 0)
X = P + μ·X'(0)
(x, y, z) = (1, 0, 0) + μ·(0, 1, 0)
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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