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Solución del ejercicio n° 21 de recta tangente y plano normal. Intersección de curva y plano. Derivada direccional. Problema resuelto.Ejemplo, cómo hallar la ecuación cartesiana del plano normal a la curva

Problema n° 21 de funciones de varias variables

Problema n° 21

Escribir las ecuaciones cartesianas de los planos normales a la curva (1, t, t²) en las intersecciones de la curva con el cilindro x² + y² = 5.

Desarrollo

Fórmulas:

Plano: Z·X'(t) = X(t)·X'(t)

Recta: Z = X(t) + μ·X'(t)

Solución

Debe verificar:

x = 1

y = t

z = t²

1² + t² = 5

t² = 4

t = 4

t = ±2

Los valores de los puntos son:

C(2) = (1, 2, 4)

C(-2) = (1, -2, 4)

Los valores de la derivada son:

C(t) = (1, t, t²)

C'(t) = (0, 1, 2·t)

C'(2) = (0, 1, 4)

C'(-2) = (0, 1, -4)

Las ecuaciones buscadas son:

X·C'(2) = C(2)·C'(2)

(x, y, z)·(0, 1, 4) = (1, 2, 4)·(0, 1, 4)

y + 4·z = 2 + 16

y + 4·z = 18

X·C'(-2) = C(-2)·C'(-2)

(x, y, z)·(0, 1, -4) = (1, -2, 4)·(0, 1, -4)

y - 4·z = 2 - 16

y - 4·z = -18

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