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Guía n° 6 de ejercicios de diferenciación

Resolver los siguientes ejercicios

Fórmulas aplicables:

Plano: Z·X'(t) = X(t)·X'(t)

Recta: Z = X(t) + μ·X'(t)

Problema n° 19

Escribir la ecuación cartesiana del plano normal a la curva:

X(t) = (t, t², 1 + t)

En el punto de intersección de la curva con el plano x + y + z = 0.

Problema n° 20

Escribir la ecuación de la recta tangente a la curva (1, t, t²) en la intersección P de la curva con la esfera de ℜ³, de centro en el origen y radio 1. Mostrar que la curva se encuentra sobre el plano tangente a la esfera en P.

Solución del problema n° 20

Problema n° 21

Escribir las ecuaciones cartesianas de los planos normales a la curva (1, t, t²) en las intersecciones de la curva con el cilindro x² + y² = 5.

Solución del problema n° 21

Problema n° 22

Mostrar que las rectas tangentes a la astroide (a·cos³ t, a·sen³ t), a > 0, cortan a los ejes coordenados en dos puntos cuya distancia es constante y vale a.

Problema n° 23

La derivada direccional de una cierta ƒ(x, y) según la dirección del vector X'(t), tangente a la curva:

(et - 1, 1 - t + t²)

En el punto P = (1, 1), vale 2. La derivada direccional de la misma función según la dirección que se obtiene girando π/2 el vector X'(t) en sentido antihorario, en el mismo punto P, vale 3·2. Calcular las derivadas parciales de la ƒ(x, y) en P.

Solución del problema n° 23

Problema n° 24

Calcular el máximo y el mínimo absolutos de la función ƒ(x, y) = y² - x² en el dominio:

4·x² + 9·y² ≤ 36

Problema n° 25

Sea X(t) una curva diferenciable en el intervalo I.

  1. Mostrar que si X'(t) = 0, para todo t ∈ I, la curva se reduce a un punto.
  2. Mostrar que si X'(t) ≠ 0 pero X" = 0, para todo t ∈ I, la curva es una recta o un segmento de recta.

Problema n° 26

Sean X(t) y Y(t) dos curvas diferenciables en el intervalo I. Poniendo ƒ(t) = X(t)·Y(t), demostrar que:

ƒ(t) = X'(t)·Y(t) + X(t)·Y'(t)

Problema n° 27

Sean g(t) y X(t) respectivamente una función y una curva diferenciables en el intervalo I. Demostrar que:

(d/dt)g(t)·X(t) = g'(t)·X(t) + g(t)·X'(t)

Problema n° 28

Sea A un vector fijo y sea g(t) una función derivable en un intervalo I. Demostrar que:

(d/dt)g(t)·A = g'(t)·A

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