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Guía de ejercicios de diferenciación. TP06

Contenido: Recta tangente y plano normal (tercera parte). Intersección de curva y plano. Derivada direccional. Curvas diferenciables.

Guía de ejercicios de diferenciación.

Resolver los siguientes ejercicios:

Fórmulas aplicables:

Plano: Z·X´(t) = X(t)·X´(t)

Recta: Z = X(t) + μ·X´(t)

Problema n° 19) Escribir la ecuación cartesiana del plano normal a la curva:

X(t) = (t,t²,1 + t)

en el punto de intersección de la curva con el plano x + y + z = 0.

Problema n° 20) Escribir la ecuación de la recta tangente a la curva (1,t,t²) en la intersección P de la curva con la esfera de ℜ³, de centro en el origen y radio 1. Mostrar que la curva se encuentra sobre el plano tangente a la esfera en P.

Problema n° 21) Escribir las ecuaciones cartesianas de los planos normales a la curva (1,t,t²) en las intersecciones de la curva con el cilindro x² + y² = 5.

Problema n° 22) Mostrar que las rectas tangentes a la astroide (a·cos³ t, a·sen³ t), a > 0, cortan a los ejes coordenados en dos puntos cuya distancia es constante y vale a.

Problema n° 23) La derivada direccional de una cierta f(x,y) según la dirección del vector X´(t), tangente a la curva:

(et - 1,1 - t + t²)

en el punto P = (1,1), vale √2. La derivada direccional de la misma función según la dirección que se obtiene girando π/2 el vector X´(t) en sentido antihorario, en el mismo punto P, vale 3·√2. Calcular las derivadas parciales de la f(x,y) en P.

Problema n° 24) Calcular el máximo y el mínimo absolutos de la función f(x,y) = y² - x² en el dominio:

4·x² + 9·y² ≤ 36

Problema n° 25) Sea X(t) una curva diferenciable en el intervalo I.

a) Mostrar que si X´(t) = 0, para todo t ∈ I, la curva se reduce a un punto.

b) Mostrar que si X´(t) ≠ 0 pero X" = 0, para todo t ∈ I, la curva es una recta o un segmento de recta.

Problema n° 26) Sean X(t) y Y(t) dos curvas diferenciables en el intervalo I. Poniendo f(t) = X(t)·Y(t), demostrar que:

f(t) = X´(t)·Y(t) + X(t)·Y´(t)

Problema n° 27) Sean g(t) y X(t) respectivamente una función y una curva diferenciables en el intervalo I. Demostrar que:

(d/dt)g(t)·X(t) = g´(t)·X(t) + g(t)·X´(t)

Problema n° 28) Sea A un vector fijo y sea g(t) una función derivable en un intervalo I. Demostrar que:

(d/dt)g(t)·A = g´(t)·A

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