Fisicanet ®

Ejemplo, cómo calcular el área de un dominio en coordenadas polares.

Problema n° 3 de integrales

Enunciado del ejercicio n° 3

Calcular, mediante un cambio de variables, el área de la elipse:

x²/a² + y²/b² = 1

Desarrollo

Fórmulas:

Cambio a polares:

x = r·cos θ

y = r·sen θ

dx·dy = r·dθ·dr

D f(x, y)·dx·dy = D' f(r·cos θ, r·sen θ)·r·dθ·dr

Área:

A = ½·β(r(θ))²·dθ
 
α

Cambio a curvilíneas:

x = x(u, v)

y = y(u, v)

dx·dy = |J(u, v)|·du·dv

D f(x, y)·dx·dy = D' f[x(u, v), y(u, v)]·|J(u, v)|·du·dv

Solución

Aplicando el cambio de variables:

x = a·u

y = b·v

|J| = a·v

u² + v² = 1

D = {(x, y): u² + v² ≤ 1}

A = D dx·dy

A = D' a·b·du·dv

A = a·b·D' du·dv

Cambiando a coordenadas polares:

A = D dx·dy

A = a·b·D' du·dv

A = a·b·D' r·dθ·dr

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2·π

A = a·b·1r·dr2·π
  
00
A = a·b·1(θ)2·π·r·dr
  
00
A = a·b·12·π·r·dr
 
0
A = a·b·2·π·1r·dr
 
0
A = a·b·2·π·(½·r²)1
 
0

A = a·b·2·π·(½·1² - ½·0²)

A = a·b·2·π·(½ - 0)

Resultado, el área del dominio limitado por la curva es:

A = π·a·b

Ver condiciones para uso de los contenidos de fisicanet.com.ar

Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso.

Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.