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Solución del ejercicio n° 3 de integrales dobles en coordenadas polares. Problema resuelto. Ejemplo, cómo calcular el área de un dominio en coordenadas polares.

Problema n° 3 de integrales

Problema n° 3

Calcular, mediante un cambio de variables, el área de la elipse:

x²/a² + y²/b² = 1

Desarrollo

Fórmulas:

Cambio a polares:

x = r·cos θ

y = r·sen θ

dx·dy = r·dθ·dr

D ƒ(x, y)·dx·dy = D' ƒ(r·cos θ, r·sen θ)·r·dθ·dr

Área:

Fórmula para integrar el área de un dominio en coordenadas polares

Cambio a curvilíneas:

x = x(u, v)

y = y(u, v)

dx·dy = |J(u, v)|·du·dv

D ƒ(x, y)·dx·dy = D' f[x(u, v), y(u, v)]·|J(u, v)|·du·dv

Solución

Aplicando el cambio de variables:

x = a·u

y = b·v

|J| = a·v

u² + v² = 1

D = {(x, y): u² + v² ≤ 1}

A = D dx·dy = D' a·b·du·dv = a·b·D' du·dv

Cambiando a coordenadas polares:

A = D dx·dy = a·b·D' du·dv = a·b·D' r·dθ·dr

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2·π

Cálculo del área del dominio en coordenadas polares

Resultado, el área del dominio limitado por la curva es:

A = π·a·b

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