Ejemplo, cómo calcular el área de un dominio en coordenadas polares.

Problema n° 3 de integrales - TP01

Enunciado del ejercicio n° 3

Calcular, mediante un cambio de variables, el área de la elipse:

x²/a² + y²/b² = 1

Cambio a polares:

x = r·cos θ

y = r·sen θ

dx·dy = r·dθ·dr

∬_D f(x, y)·dx·dy = ∬_D' f(r·cos θ, r·sen θ)·r·dθ·dr

Área:

Cambio a curvilíneas:

x = x(u, v)

y = y(u, v)

dx·dy = |J(u, v)|·du·dv

∬_D f(x, y)·dx·dy = ∬_D' f[x(u, v), y(u, v)]·|J(u, v)|·du·dv

Aplicando el cambio de variables:

x = a·u

y = b·v

|J| = a·v

u² + v² = 1

D = {(x, y): u² + v² ≤ 1}

A = ∬_D dx·dy

A = ∬_D' a·b·du·dv

A = a·b·∬_D' du·dv

Cambiando a coordenadas polares:

A = ∬_D dx·dy

A = a·b·∬_D' du·dv

A = a·b·∬_D' r·dθ·dr

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2·π

A = a·b·2·π·(½·1² - ½·0²)

A = a·b·2·π·(½ - 0)

Resultado, el área del dominio limitado por la curva es:

A = π·a·b

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.