Problema nº 3 de integrales, área de un dominio en coordenadas polares

Enunciado del ejercicio nº 3

Calcular, mediante un cambio de variables, el área de la elipse:

x²/a² + y²/b² = 1

Desarrollo

Fórmulas:

Cambio a polares:

x = r·cos θ

y = r·sen θ

dx·dy = r·dθ·dr

Área:

Cambio a curvilíneas:

x = x(u, v)

y = y(u, v)

dx·dy = |J(u, v)|·du·dv

Solución

Aplicando el cambio de variables:

x = a·u

y = b·v

|J| = a·v

u² + v² = 1

D = {(x, y): u² + v² ≤ 1}

Cambiando a coordenadas polares:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2·π

A = a·b·2·π·(½·1² - ½·0²)

A = a·b·2·π·(½ - 0)

Resultado, el área del dominio limitado por la curva es:

A = π·a·b

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo, cómo calcular el área de un dominio en coordenadas polares.