Problema n° 3 de integrales - TP01
Enunciado del ejercicio n° 3
Calcular, mediante un cambio de variables, el área de la elipse:
x²/a² + y²/b² = 1
Desarrollo
Fórmulas:
Cambio a polares:
x = r·cos θ
y = r·sen θ
dx·dy = r·dθ·dr
∬D f(x, y)·dx·dy = ∬D' f(r·cos θ, r·sen θ)·r·dθ·dr
Área:
| A = ½·∫ | β | (r(θ))²·dθ |
| α |
Cambio a curvilíneas:
x = x(u, v)
y = y(u, v)
dx·dy = |J(u, v)|·du·dv
∬D f(x, y)·dx·dy = ∬D' f[x(u, v), y(u, v)]·|J(u, v)|·du·dv
Solución
Aplicando el cambio de variables:
x = a·u
y = b·v
|J| = a·v
u² + v² = 1
D = {(x, y): u² + v² ≤ 1}
A = ∬D dx·dy
A = ∬D' a·b·du·dv
A = a·b·∬D' du·dv
Cambiando a coordenadas polares:
A = ∬D dx·dy
A = a·b·∬D' du·dv
A = a·b·∬D' r·dθ·dr
0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ 2·π
| A = a·b·∫ | 1 | r·dr∫ | 2·π | dθ |
| 0 | 0 |
| A = a·b·∫ | 1 | (θ) | 2·π | ·r·dr |
| 0 | 0 |
| A = a·b·∫ | 1 | 2·π·r·dr |
| 0 |
| A = a·b·2·π·∫ | 1 | r·dr |
| 0 |
| A = a·b·2·π·(½·r²) | 1 |
| 0 |
A = a·b·2·π·(½·1² - ½·0²)
A = a·b·2·π·(½ - 0)
Resultado, el área del dominio limitado por la curva es:
A = π·a·b
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo calcular el área de un dominio en coordenadas polares.