Problema n° 2-h de integrales - TP01

Enunciado del ejercicio n° 2

Calcular el área de los dominios limitados por las siguientes curvas:

h)

r = 1 + cos θ; r = cos θ; 0 ≤ θ ≤ π

Desarrollo

Fórmulas:

Cambio a polares:

x = r·cos θ

y = r·sen θ

dx·dy = r·dθ·dr

D f(x, y)·dx·dy = D' f(r·cos θ, r·sen θ)·r·dθ·dr

Área:

A = ½·β(r(θ))²·dθ
 
α

Cambio a curvilíneas:

x = x(u, v)

y = y(u, v)

dx·dy = |J(u, v)|·du·dv

D f(x, y)·dx·dy = D' f[x(u, v), y(u, v)]·|J(u, v)|·du·dv

Solución

Aplicando la fórmula de área:

α = π

β = 0

A = ½·π[(1 + cos θ)² - (cos θ)²]·dθ
 
0
A = ½·π(1 + 2·cos θ + cos² θ - cos² θ)·dθ
 
0
A = ½·π(1 + 2·cos θ)·dθ
 
0
A = ½·(θ + 2·sen θ)π
 
0

A = ½·(π + 2·sen π - 0 - 2·sen 0)

A = ½·π

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo calcular el área de un dominio en coordenadas polares.

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