Ejemplo, cómo calcular el área de un dominio en coordenadas polares.
Problema n° 2-h de integrales
Enunciado del ejercicio n° 2
Calcular el área de los dominios limitados por las siguientes curvas:
h)
r = 1 + cos θ; r = cos θ; 0 ≤ θ ≤ π
Desarrollo
Fórmulas:
Cambio a polares:
x = r·cos θ
y = r·sen θ
dx·dy = r·dθ·dr
∬D f(x, y)·dx·dy = ∬D' f(r·cos θ, r·sen θ)·r·dθ·dr
Área:
| A = ½·∫ | β | (r(θ))²·dθ |
| α |
Cambio a curvilíneas:
x = x(u, v)
y = y(u, v)
dx·dy = |J(u, v)|·du·dv
∬D f(x, y)·dx·dy = ∬D' f[x(u, v), y(u, v)]·|J(u, v)|·du·dv
Solución
Aplicando la fórmula de área:
α = π
β = 0
| A = ½·∫ | π | [(1 + cos θ)² - (cos θ)²]·dθ |
| 0 |
| A = ½·∫ | π | (1 + 2·cos θ + cos² θ - cos² θ)·dθ |
| 0 |
| A = ½·∫ | π | (1 + 2·cos θ)·dθ |
| 0 |
| A = ½·(θ + 2·sen θ) | π |
| 0 |
A = ½·(π + 2·sen π - 0 - 2·sen 0)
A = ½·π
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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