Guía de ejercicios resueltos de integrales curvilíneas. TP04

Integrales: Solución del ejercicio n° 5 de integrales curvilíneas de funciones. Problema resuelto. Ejemplo, cómo calcular la integral sobre una curva.

Problema n° 5 de integrales.

Problema n° 5) Calcular la posición del baricentro de un alambre semicircular homogéneo de radio R.

La posición del baricentro será:

Fórmula para calcular las coordenadas del baricentro


Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro

Según el enunciado se trata de una semicircunferencia que ubicamos por comodidad con su centro en el origen de coordenadas, de modo que una de las coordenadas del baricentro se encontrará sobre uno de los ejes por simetría del dominio y antisimetría de la integranda.

Parametrizando:

C(t) = (R·cos t, R·sen t) ⇒ 0 ≤ t ≤ π

Así XG = 0

Luego:

YG = l/longitud

Calculando las partes:

C'(t) = (-R·sen t, R·cos t)

Cálculo de integrales curvilíneas de funciones

ƒ(X) = y ⇒ ƒ(C(t)) = R·sen t

I = C y·ds =

Cálculo de integrales curvilíneas de funciones

= ℜ²·[-cos π - (-cos 0)] = ℜ²·[-(-1) - (-1)] = ℜ²·(1 +1) = 2·R²

Longitud = C ds = Cálculo de integrales curvilíneas de funciones

Longitud = R·π

YG = 2·R²/R·π = 2·R/π

El baricentro es:

G = (0, 2·R/π)

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