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Ejemplo, cómo calcular la integral sobre una curva.

Problema n° 4 de integrales

Enunciado del ejercicio n° 4

T (x + y)·ds

Donde T es el triángulo de vértices:

A = (0, 0)

B = (1, 0)

C = (0, 1)

Aplicando:

C f(x)·ds = bf(C(t))·||C'||·dt
 
a

Parametrizando el triángulo:

CAB(t) = (t, 0); 0 ≤ t ≤ 1

CBC(t) = (1 - t, t); 0 ≤ t ≤ 1

CCA(t) = (0, t); 0 ≤ t ≤ 1

Calculando las partes:

C'AB(t) = (1, 0) ⇒ ||C'AB(t)|| = ⇒ ||C'AB(t)|| = 1

C'BC(t) = (-1, 1) ⇒ ||C'BC(t)|| = (-1)² + 1² ⇒ ||C'BC(t)|| = 2

C'CA(t) = (0, 1) ⇒ ||C'CA(t)|| = ⇒ ||C'CA(t)|| = 1

f(X) = x + y ⇒ f(CAB(t)) = t + 0 ⇒ f(CAB(t)) = t

f(X) = x + y ⇒ f(CBC(t)) = (1 - t) + t ⇒ f(CBC(t)) = 1

f(X) = x + y ⇒ f(CCA(t)) = 0 + t ⇒ f(CCA(t)) = t

Armando la integral:

C (x + y)·ds = CAB f·ds + CBC f·ds + CCA f·ds

= 1t·dt + 12·dt + 1t·dt =
   
000
= 2·1t·dt + 12·dt =
  
00
= 2·(½·t²)1+ 2·(t)1=
  
00

= 2·(½·1² - ½·0²) + 2·(1 - 0) =

C (x + y)·ds = 1 + 2

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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