Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de una esfera

Problema n° 1-a de integrales

Enunciado del ejercicio n° 1-a

Calcular el flujo saliente del campo:

(x, y, z) a través de la esfera x² + y² + z² = 1.

∬_∂T F·dS = ∭_T div F·dT

Vol T = ∬_∂T x·E₁·dS

Vol T = ∬_∂T y·E₁·dS

Vol T = ∬_∂T z·E₁·dS

Hallamos la divergencia del campo:

F = (x, y, z) ⇒ ∇F = (1 + 1 + 1)

∇F = 3

Planteamos la integral para la página exterior del dominio:

∬_∂T F·dS = ∭_T div F·dT

∬_∂T F·dS = ∭_T 3·dx·dy·dz

∬_∂T F·dS = 3·∭_T dx·dy·dz

Cambiamos a sistema de coordenadas esféricas:

x = r·(cos θ)·(sen φ)
y = r·(sen θ)·(sen φ)
z = r·cos φ

→ |J| = r²·sen φ →

0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ 2·π
0 ≤ φ ≤ π

Resolvemos:

3·∭_T·dx·dy·dz = 3·∭_T' r²·dθ·dφ·dr =

= 6·π·(⅓·1³ - ⅓·0³)·(cos 0 - cos π) =

= 6·π·⅓·[1 - (-1)] = 2·π·(1 + 1)

Resultado, el flujo saliente del campo es:

Flujo = 4·π

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.