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Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de una esfera

Problema n° 1-a de integrales

Enunciado del ejercicio n° 1-a

Calcular el flujo saliente del campo:

(x, y, z) a través de la esfera x² + y² + z² = 1.

Desarrollo

Fórmulas:

∂T F·dS = T div F·dT

Vol T = ∂T x·E1·dS

Vol T = ∂T y·E1·dS

Vol T = ∂T z·E1·dS

Solución

Hallamos la divergencia del campo:

F = (x, y, z) ⇒ ∇F = (1 + 1 + 1)

∇F = 3

Planteamos la integral para la página exterior del dominio:

∂T F·dS = T div F·dT

∂T F·dS = T 3·dx·dy·dz

∂T F·dS = 3·T dx·dy·dz

Cambiamos a sistema de coordenadas esféricas:

x = r·(cos θ)·(sen φ)
y = r·(sen θ)·(sen φ)
z = r·cos φ
→ |J| = r²·sen φ →0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ 2·π
0 ≤ φ ≤ π

Resolvemos:

T·dx·dy·dz = 3·T' r²·dθ·dφ·dr =

= 3·2·π1r²·drπsen φ·dφ =
   
000
= 3·(2·π)·(⅓·r³)1·(cos φ)0=
  
0π

= 6·π·(⅓·1³ - ⅓·0³)·(cos 0 - cos π) =

= 6·π·⅓·[1 - (-1)] = 2·π·(1 + 1)

Resultado, el flujo saliente del campo es:

Flujo = 4·π

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