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Solución del ejercicio n° 1-a de aplicaciones del teorema de la divergencia Problema resuelto. Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de una esfera
Problema n° 1-a de integrales
Problema n° 1
Calcular el flujo saliente del campo:
a.
(x, y, z) a través de la esfera x² + y² + z² = 1.
Desarrollo
Fórmulas:
∬∂T F·dS = ∭T div F·dT
Vol T = ∬∂T x·E1·dS
Vol T = ∬∂T y·E1·dS
Vol T = ∬∂T z·E1·dS
Solución
Hallamos la divergencia del campo:
F = (x, y, z) ⇒ ∇F = (1 + 1 + 1) ⇒ ∇F = 3
Planteamos la integral para la página exterior del dominio:
∬∂T F·dS = ∭T div F·dT = ∭T 3·dx·dy·dz = 3·∭T 3·dx·dy·dz
Cambiamos a sistema de coordenadas esféricas:
x = r·(cos θ)·(sen φ) y = r·(sen θ)·(sen φ) z = r·cos φ | → |J| = r²·sen φ → | 0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2·π 0 ≤ φ ≤ π |
Resolvemos:
3·∭T·dx·dy·dz = 3·∭T' r²·dθ·dφ·dr =
= 6·π·(1/3)·(1 - (-1)) = 2·π·(1 + 1)
Resultado, el flujo saliente del campo es:
Flujo = 4·π
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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