Problema nº 1-a de integrales, flujo saliente a través de una esfera

Enunciado del ejercicio nº 1-a

Calcular el flujo saliente del campo:

(x, y, z) a través de la esfera x² + y² + z² = 1.

Desarrollo

Fórmulas:

Solución

Hallamos la divergencia del campo:

F = (x, y, z) ⇒ ∇F = (1 + 1 + 1)

∇F = 3

Planteamos la integral para la página exterior del dominio:

Cambiamos a sistema de coordenadas esféricas:

Resolvemos:

Flujo = 6·π·(⅓·1³ - ⅓·0³)·(cos 0 - cos π) = 6·π·⅓·[1 - (-1)] = 2·π·(1 + 1)

Resultado, el flujo saliente del campo es:

Flujo = 4·π

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de una esfera