Problema n° 1-a de integrales.

Problema n° 1) Calcular el flujo saliente del campo:

a.

(x, y, z) a través de la esfera x² + y² + z² = 1.

Desarrollo

Solución

Hallamos la divergencia del campo:

F = (x, y, z) ⇒ ∇F = (1 + 1 + 1) ⇒ ∇F = 3

Planteamos la integral para la página exterior del dominio:

∬_∂T F·dS = ∭_T div F·dT = ∭_T 3·dx·dy·dz = 3·∭_T 3·dx·dy·dz

Cambiamos a sistema de coordenadas esféricas:

Resolvemos:

3·∭_T·dx·dy·dz = 3·∭_T' r²·dθ·dφ·dr =

= 6·π·(1/3)·(1 - (-1)) = 2·π·(1 + 1)

Resultado, el flujo saliente del campo es:

Flujo = 4·π