Fisicanet ®

Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de un hemisferio

Problema n° 1-b de integrales - TP06

Enunciado del ejercicio n° 1-b

Calcular el flujo saliente del campo:

(y, x, z²) a través de la hemisferio x² + y² + z² = 1, z ≥ 0.

Desarrollo

Fórmulas:

∂T F·dS = T div F·dT

Vol T = ∂T x·E1·dS

Vol T = ∂T y·E1·dS

Vol T = ∂T z·E1·dS

Solución

Hallamos la divergencia del campo:

F = (x, y, z²) ⇒ ∇F = (0 + 0 + 2·z)

∇F = 2·z

Planteamos la integral para la página exterior del dominio:

-∂T F·dS = -T div F·dT

-∂T F·dS = -T 2·z·dx·dy·dz

-∂T F·dS = -2·T z·dx·dy·dz

Cambiamos a sistema de coordenadas esféricas:

x = r·(cos θ)·(sen φ)
y = r·(sen θ)·(sen φ)
z = r·cos φ
→ |J| = r²·sen φ →0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ 2·π
0 ≤ φ ≤ π/2

Resolvemos:

-∂T F·dS = -2·T z·dx·dy·dz = -2·T' r·(cos φ)·r²·(sen φ)·dθ·dφ·dr = -2·T' r³·(cos φ)·(sen φ)·dθ·dφ·dr

= -2·2·π1r³·drπ/2cos φ·sen φ·dφ =
   
000
= -2·(2·π)·(¼·r4)1(½·cos² φ)0=
  
0π/2

= -4·π·(¼·14 - ¼·04)·(½·cos² 0 - ½·cos² π/2) =

= -4·π·¼·½ = -π/2

Resultado, el flujo saliente del campo es:

Flujo = -π/2

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

Ver condiciones para uso de los contenidos de fisicanet.com.ar

Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso.

Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.