Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de un hemisferio

Problema n° 1-b de integrales - TP06

Enunciado del ejercicio n° 1-b

Calcular el flujo saliente del campo:

(y, x, z²) a través de la hemisferio x² + y² + z² = 1, z ≥ 0.

∬_∂T F·dS = ∭_T div F·dT

Vol T = ∬_∂T x·E₁·dS

Vol T = ∬_∂T y·E₁·dS

Vol T = ∬_∂T z·E₁·dS

Hallamos la divergencia del campo:

F = (x, y, z²) ⇒ ∇F = (0 + 0 + 2·z)

∇F = 2·z

Planteamos la integral para la página exterior del dominio:

-∬_∂T F·dS = -∭_T div F·dT

-∬_∂T F·dS = -∭_T 2·z·dx·dy·dz

-∬_∂T F·dS = -2·∭_T z·dx·dy·dz

Cambiamos a sistema de coordenadas esféricas:

x = r·(cos θ)·(sen φ)
y = r·(sen θ)·(sen φ)
z = r·cos φ

→ |J| = r²·sen φ →

0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ 2·π
0 ≤ φ ≤ π/2

Resolvemos:

-∬_∂T F·dS = -2·∭_T z·dx·dy·dz = -2·∭_T' r·(cos φ)·r²·(sen φ)·dθ·dφ·dr = -2·∭_T' r³·(cos φ)·(sen φ)·dθ·dφ·dr

= -4·π·(¼·1⁴ - ¼·0⁴)·(½·cos² 0 - ½·cos² π/2) =

= -4·π·¼·½ = -π/2

Resultado, el flujo saliente del campo es:

Flujo = -π/2

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.