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Guía n° 6 de ejercicios de divergencia

Resolver los siguientes ejercicios

Fórmulas aplicables:

∂T F·dS = T div F·dT

Vol T = ∂T x·E1·dS

Vol T = ∂T y·E1·dS

Vol T = ∂T z·E1·dS

Problema n° 1

Calcular:

a.

Calcular el flujo saliente del campo (x, y, z) a través de la esfera x² + y² + z² = 1.

Solución del problema n° 1-a

b.

Calcular el flujo entrante del campo (y, x, z²) a través del hemisferio x² + y² + z² = 1, z ≥ 0.

Solución del problema n° 1-b

c.

Calcular el flujo saliente del campo (y, z·x, 1) a través de la esfera (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = ℜ².

Solución del problema n° 1-c

d.

Calcular el flujo saliente del campo (y - z, z - x, x - y) a través de la superficie cónica z² = x² + y², 0 ≤ z ≤ h.

Solución del problema n° 1-d

e.

Calcular el flujo saliente del campo (z, x, y) a través del cubo, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.

Solución del problema n° 1-e

f.

Calcular el flujo saliente del campo (x, y, 2·z - x - y) a través del vaso cilíndrico determinado por las superficies:

S1: x² + y² = 1, 0 ≤ z ≤ 1

S2: z = 0, x² + y² = 1

Problema n° 2

Calcular:

∂T F·dS

Donde F = X = (x, y, z) y T es el sólido comprendido entre dos superficies esféricas de centro en el origen y radios 1 y 2.

Solución del problema n° 2

Problema n° 3

Calcular el momento de inercia, respecto a su eje de simetría, del siguiente sólido homogéneo T generado por la rotación, alrededor del eje z, del dominio plano yz limitado por los ejes coordenados y por el arco de astroide:

(y, z) = (a·cos³ t, a·sen³ t); 0 ≤ t ≤ π/2, a > 0

El momento de inercia es:

Iz = M/V·D (x² + y²)·dx·dy·dz

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• Fuente:

Ejercicios extraídos del libro "Lecciones de análisis II" del Dr. Alfredo F. Novelli para Análisis Matemático II de UNLu.

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