Problema n° 2 de integrales - TP06
Enunciado del ejercicio n° 2
Calcular:
∬∂T F·dS
Donde F = X = (x, y, z) y T es el sólido comprendido entre dos superficies esféricas de centro en el origen y radios 1 y 2.
Desarrollo
Fórmulas:
∬∂T F·dS = ∭T div F·dT
Vol T = ∬∂T x·E1·dS
Vol T = ∬∂T y·E1·dS
Vol T = ∬∂T z·E1·dS
Solución
Hallamos la divergencia del campo:
F = (x, y, z) ⇒ ∇ F = (1 + 1 + 1)
∇F = 3
Planteamos la integral donde será flujo saliente para la S1 y flujo entrante para la S2:
Flujo = ∬∂T F·dS = 3·∭T1 dx·dy·dz - ∭T2 dx·dy·dz
S1: x² + y² + z² = 2
S2: x² + y² + z² = 1
Cambiamos a sistema de coordenadas esféricas:
| x = r·(cos θ)·(sen φ) y = r·(sen θ)·(sen φ) z = r·cos φ | ⟶ |J| = r²·sen φ ⟶ | 0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2·π 0 ≤ φ ≤ π |
Resolvemos:
Flujo = 3·∭T1 dx·dy·dz - 3·∭T2 dx·dy·dz
Flujo = 3·∭T'1 r²·sen φ·dθ·dφ·dr -3·∭T'2 r²·sen φ·dθ·dφ·dr
| Flujo = 3·∫ | 2·π | dθ∫ | 2 | r²·dr∫ | π | sen φ·dφ - 3·∫ | 2·π | dθ∫ | 1 | r²·dr∫ | π | sen φ·dφ |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Flujo = 3·∫ | 2·π | dθ∫ | 2 | (cos φ) | 0 | r²·dr - 3·∫ | 2·π | dθ∫ | 1 | (cos φ) | 0 | r²·dr |
| 0 | 0 | π | 0 | 0 | π |
| Flujo = 3·∫ | 2·π | dθ∫ | 2 | (cos 0 - cos π)·r²·dr - 3·∫ | 2·π | dθ∫ | 1 | (cos 0 - cos π)·r²·dr |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| Flujo = 3·∫ | 2·π | dθ∫ | 2 | [1 - (-1)]·r²·dr - 3·∫ | 2·π | dθ∫ | 1 | [1 - (-1)]·r²·dr |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| Flujo = 3·∫ | 2·π | dθ∫ | 2 | (1 + 1)·r²·dr - 3·∫ | 2·π | dθ∫ | 1 | (1 + 1)·r²·dr |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| Flujo = 3·∫ | 2·π | dθ∫ | 2 | 2·r²·dr - 3·∫ | 2·π | dθ∫ | 1 | 2·r²·dr |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| Flujo = 3·2·∫ | 2·π | (⅓·r³) | 2 | ·dθ - 3·2·∫ | 2·π | (⅓·r³) | 1 | ·dθ |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| Flujo = 6·∫ | 2·π | ⅓·(2³ - 0³)·dθ - 6·∫ | 2·π | ⅓·(1³ - 0³)·dθ |
| 0 | 0 |
| Flujo = 6·⅓·∫ | 2·π | 8·dθ - 6·⅓·∫ | 2·π | 1·dθ |
| 0 | 0 |
| Flujo = 2·8·∫ | 2·π | dθ - 2·∫ | 2·π | dθ |
| 0 | 0 |
| Flujo = 16·(θ) | 2·π | - 2·(θ) | 2·π |
| 0 | 0 |
Flujo = 16·(2·π - 0) - 2·(2·π - 0)
Flujo = 16·2·π - 2·2·π = 32·π - 4·π
Resultado, el flujo saliente del campo es:
Flujo = 28·π
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de un sólido