Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de un sólido

Problema n° 2 de integrales - TP06

Enunciado del ejercicio n° 2

Calcular:

∬_∂T F·dS

Donde F = X = (x, y, z) y T es el sólido comprendido entre dos superficies esféricas de centro en el origen y radios 1 y 2.

∬_∂T F·dS = ∭_T div F·dT

Vol T = ∬_∂T x·E₁·dS

Vol T = ∬_∂T y·E₁·dS

Vol T = ∬_∂T z·E₁·dS

Hallamos la divergencia del campo:

F = (x, y, z) ⇒ ∇ F = (1 + 1 + 1)

∇F = 3

Planteamos la integral donde será flujo saliente para la S₁ y flujo entrante para la S₂:

Flujo = ∬_∂T F·dS = 3·∭_T1 dx·dy·dz - ∭_T2 dx·dy·dz

S₁: x² + y² + z² = 2

S₂: x² + y² + z² = 1

Cambiamos a sistema de coordenadas esféricas:

x = r·(cos θ)·(sen φ)
y = r·(sen θ)·(sen φ)
z = r·cos φ

→ |J| = r²·sen φ →

0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ 2·π
0 ≤ φ ≤ π

Resolvemos:

Flujo = 3·∭_T1 dx·dy·dz - 3·∭_T2 dx·dy·dz

Flujo = 3·∭_T'1 r²·sen φ·dθ·dφ·dr -3·∭_T'2 r²·sen φ·dθ·dφ·dr

Flujo = 16·(2·π - 0) - 2·(2·π - 0)

Flujo = 16·2·π - 2·2·π = 32·π - 4·π

Resultado, el flujo saliente del campo es:

Flujo = 28·π

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.