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Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de un sólido

Problema n° 2 de integrales

Enunciado del ejercicio n° 2

Calcular:

∂T F·dS

Donde F = X = (x, y, z) y T es el sólido comprendido entre dos superficies esféricas de centro en el origen y radios 1 y 2.

Desarrollo

Fórmulas:

∂T F·dS = T div F·dT

Vol T = ∂T x·E1·dS

Vol T = ∂T y·E1·dS

Vol T = ∂T z·E1·dS

Solución

Hallamos la divergencia del campo:

F = (x, y, z) ⇒ ∇ F = (1 + 1 + 1)

∇F = 3

Planteamos la integral donde será flujo saliente para la S1 y flujo entrante para la S2:

Flujo = ∂T F·dS = 3·T1 dx·dy·dz - T2 dx·dy·dz

S1: x² + y² + z² = 2

S2: x² + y² + z² = 1

Cambiamos a sistema de coordenadas esféricas:

x = r·(cos θ)·(sen φ)
y = r·(sen θ)·(sen φ)
z = r·cos φ
→ |J| = r²·sen φ →0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ 2·π
0 ≤ φ ≤ π

Resolvemos:

Flujo = 3·T1 dx·dy·dz - 3·T2 dx·dy·dz

Flujo = 3·T'1 r²·sen φ·dθ·dφ·dr -3·T'2 r²·sen φ·dθ·dφ·dr

Flujo = 3·2·π2r²·drπsen φ·dφ - 3·2·π1r²·drπsen φ·dφ
      
000000
Flujo = 3·2·π2(cos φ)0r²·dr - 3·2·π1(cos φ)0r²·dr
      
00π00π
Flujo = 3·2·π2(cos 0 - cos π)·r²·dr - 3·2·π1(cos 0 - cos π)·r²·dr
    
0000
Flujo = 3·2·π2[1 - (-1)]·r²·dr - 3·2·π1[1 - (-1)]·r²·dr
    
0000
Flujo = 3·2·π2(1 + 1)·r²·dr - 3·2·π1(1 + 1)·r²·dr
    
0000
Flujo = 3·2·π22·r²·dr - 3·2·π12·r²·dr
    
0000
Flujo = 3·2·2·π(⅓·r³)2·dθ - 3·2·2·π(⅓·r³)1·dθ
    
0000
Flujo = 6·2·π⅓·(2³ - 0³)·dθ - 6·2·π⅓·(1³ - 0³)·dθ
  
00
Flujo = 6·⅓·2·π8·dθ - 6·⅓·2·π1·dθ
  
00
Flujo = 2·8·2·πdθ - 2·2·π
  
00
Flujo = 16·(θ)2·π- 2·(θ)2·π
  
00

Flujo = 16·(2·π - 0) - 2·(2·π - 0)

Flujo = 16·2·π - 2·2·π = 32·π - 4·π

Resultado, el flujo saliente del campo es:

Flujo = 28·π

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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