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Guía de ejercicios de momento de inercia. TP08

Integrales: Solución del ejercicio n° 6 de integrales triples. Cálculo del momento de inercia de sólidos homogéneos. Problema resuelto.

Problema n° 6 de integrales.

Problema n° 6) {(x,y,z): x² + y² + z² ≤ 2, x² + y² - z² ≤ 0, z ≥ 0}


Gráfico del dominio para el cálculo del momento de inercia

Calculamos el volumen:

V = ∫∫∫D dx·dy·dz

Cambiamos a coordenadas polares:

V = ∫∫∫D dx·dy·dz = V = ∫∫∫ r²·sen φ·dθ·dφ·dr

0 ≤ θ ≤ 2·π

0 ≤ φ ≤ π/4

0 ≤ r ≤ √2

Cálculo del volumen en coordenadas polares

Como las variables no dependen entre si:

Cálculo del volumen en coordenadas polares

Luego mediante un cambio de coordenadas:

x = r·(cos θ)·(sen φ)

y = r·(sen θ)·(sen φ)

z = r·cos φ

→ |J| = r²·sen φ

∫∫∫D (x² + y²)·dx·dy·dz = ∫∫∫ [(r·(cos θ)·(sen φ))² + (r·(sen θ)·(sen φ))²]·r²·sen φ·dθ·dφ·dr

∫∫∫ (r²·(cos² θ)·sen² φ) + r²·(sen² θ)·(sen² φ)·r²·(sen φ)·dθ·dφ·dr = ∫∫∫ r²·(sen² φ)·(cos² θ + sen² θ)·r²·sen φ·dθ·dφ·dr

∫∫∫ r4·(sen³ φ)·dθ·dφ·dr =

Resolución de la integral triple en coordenadas polares

Resolución de la integral triple en coordenadas polares

Resolución de la integral triple en coordenadas polares

Resolución de la integral triple en coordenadas polares

Finalmente:

Iz = (M/V)·∫∫∫D (x² + y²)·dx·dy·dz

Cálculo del momento de inercia

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