Problema n° 6 de integrales - TP08

Enunciado del ejercicio n° 6

Calcular el momento de inercia, respecto del eje z, del siguiente sólido homogéneo

{(x, y, z): x² + y² + z² ≤ 2, x² + y² - z² ≤ 0, z ≥ 0}

Desarrollo

Fórmulas:

Para sólidos homogéneos:

Iz = D (x² + y²) dx·dy·dz

Solución

Gráfico del dominio para el cálculo del momento de inercia
Gráfico del dominio para el cálculo del momento de inercia

Calculamos el volumen:

V = D dx·dy·dz

Cambiamos a coordenadas polares:

V = D dx·dy·dz = D' r²·sen φ·dθ·dφ·dr

0 ≤ θ ≤ 2·π

0 ≤ φ ≤ π/4

0 ≤ r ≤ 2

V = D dx·dy·dz

V = 2·ππ/4sen φ·dφ2r²·dr
   
000

Como las variables no dependen entre si:

V = (θ)2·π·(-cos φ)π/4·(⅓·r³)2=
   
000

V = (2·π - 0)·(-cos π/4 + cos 0)·[⅓·(2)³ - ⅓·0³]

V = 2·π·(-cos π/4 + cos 0)·⅓·(2

V = 2·π·(-½·2 + 1)·⅔·2

V = 2·π·½·(2 - 2)·⅔·2

V = (2 - 2)·⅔·π·2

Luego mediante un cambio de coordenadas:

x = r·(cos θ)·(sen φ)
y = r·(sen θ)·(sen φ)
z = r·cos φ
⟶ |J| = r²·sen φ

D (x² + y²)·dx·dy·dz = D' [(r·(cos θ)·(sen φ))² + (r·(sen θ)·(sen φ))²]·r²·sen φ·dθ·dφ·dr =

= D' (r²·(cos² θ)·sen² φ) + r²·(sen² θ)·(sen² φ)·r²·(sen φ)·dθ·dφ·dr = D' r²·(sen² φ)·(cos² θ + sen² θ)·r²·sen φ·dθ·dφ·dr =

= D' r4·(sen³ φ)·dθ·dφ·dr =

= 2·ππ/4sen³ φ·dφ2r4·dr =
   
000
= (θ)2·π·(⅕·r5)2·π/4(1 - cos² φ)·sen φ·dφ =
   
000
= 2·π·⅕·(2)5·π/4(sen φ - sen φ·cos² φ)·dφ =
 
0
= 2·π·⅕·4·2·[π/4(sen φ - sen φ·cos² φ)·dφ] =
 
0
= ⅕·8·π·2·[π/4sen φ·dφ + π/4cos² φ·d(cos φ)] =
  
00
= ⅕·8·π·2·[(-cos φ)π/4+ (⅓·cos³ φ)π/4] =
  
00

= ⅕·8·π·2·[(-cos π/4 + cos 0) + (⅓·cos³ π/4 - ⅓·cos³ 0) =

=8·π·2·[-2+ 1 +(½·2-1] =
5233
=8·π·2·[-2+ 1 +2-1] =
52123
=8·π·2·(-6·2 + 12 + 2 - 4) =
512
=8·π·2·(-5·2 + 8) =
512
=2·π·2·(8 - 5·2)
15

Finalmente:

Iz = (M/V)·D (x² + y²)·dx·dy·dz

Iz =M·2·π·2·(8 - 5·2)
(2 - 2)·⅔·π·215

Resultado, el momento de inercia del sólido es:

Iz =M·(8 - 5·2)
5·(2 - 2)

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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