Guía de ejercicios de momento de inercia. TP08

Integrales: Solución del ejercicio n° 6 de integrales triples. Cálculo del momento de inercia de sólidos homogéneos. Problema resuelto.

Problema n° 6 de integrales.

Problema n° 6) Calcular el momento de inercia, respecto del eje z, del siguiente sólido homogéneo

{(x, y, z): x² + y² + z² ≤ 2, x² + y² - z² ≤ 0, z ≥ 0}

Desarrollo

Fórmulas:

Para sólidos homogéneos: Iz = D (x² + y²) dx·dy·dz

Solución


Gráfico del dominio para el cálculo del momento de inercia

Calculamos el volumen:

V = D dx·dy·dz

Cambiamos a coordenadas polares:

V = D dx·dy·dz = V = D' r²·sen φ·dθ·dφ·dr

0 ≤ θ ≤ 2·π

0 ≤ φ ≤ π/4

0 ≤ r ≤ 2

Cálculo del volumen en coordenadas polares

Como las variables no dependen entre si:

Cálculo del volumen en coordenadas polares

Luego mediante un cambio de coordenadas:

x = r·(cos θ)·(sen φ)

y = r·(sen θ)·(sen φ)

z = r·cos φ

→ |J| = r²·sen φ

D (x² + y²)·dx·dy·dz = D' [(r·(cos θ)·(sen φ))² + (r·(sen θ)·(sen φ))²]·r²·sen φ·dθ·dφ·dr

D' (r²·(cos² θ)·sen² φ) + r²·(sen² θ)·(sen² φ)·r²·(sen φ)·dθ·dφ·dr = D' r²·(sen² φ)·(cos² θ + sen² θ)·r²·sen φ·dθ·dφ·dr

D' r4·(sen³ φ)·dθ·dφ·dr =

Resolución de la integral triple en coordenadas polares

Resolución de la integral triple en coordenadas polares

Resolución de la integral triple en coordenadas polares

Resolución de la integral triple en coordenadas polares

Finalmente:

Iz = (M/V)·D (x² + y²)·dx·dy·dz

Resultado, el momento de inercia del sólido es:

Cálculo del momento de inercia

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Signos utilizados en las fórmulas y cálculos:

  • Signo separador de miles: punto (.)
  • Signo separador decimal: coma (,)
  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o × (para producto vectorial)
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

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