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Guía de ejercicios de momento de inercia. TP08

Integrales: Solución del ejercicio n° 7 de integrales triples. Cálculo del momento de inercia de sólidos homogéneos. Problema resuelto.

Problema n° 7 de integrales.

Problema n° 7) Calcular el momento de inercia, respecto del eje z, del siguiente sólido homogéneo

{(x, y, z): x² + y² ≤ z², (x - 1)² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 4}

Desarrollo

Fórmulas:

Para sólidos homogéneos: Iz = D (x² + y²) dx·dy·dz

Solución


Gráfico del dominio para el cálculo del momento de inercia

Calculamos el volumen:

V = D dx·dy·dz

Cálculo del volumen del dominio

Cálculo del volumen del dominio

Cambiando a coordenadas polares:

x = r·cos θ

y = r·sen θ

→ |J| = r

Cálculo del volumen en coordenadas polares

Cálculo del volumen en coordenadas polares

Hallamos el límite de integración correspondiente a r:

(x - 1)² + y² = 1

(r·cos θ - 1)² + (r·sen θ)² = 1

r²·cos² θ - 2·r·cos θ + 1 + r²·sen² θ = 1

r²·(cos² θ + sen² θ) - 2·r·cos θ = 0

r² - 2·r·cos θ = 0

r·(r - 2·cos θ) = 0

0 ≤ r ≤ 2·cos θ

Para θ:

-π/2 ≤ θ ≤ π/2

Cálculo del volumen en coordenadas polares

Cálculo del volumen en coordenadas polares

Cálculo del volumen en coordenadas polares

Cálculo del volumen en coordenadas polares

Ahora calculamos la integral:

Iz = D (x² + y²)·dx·dy·dz

Resolución de la integral triple

Cambiando a coordenadas polares:

x = r·cos θ

y = r·sen θ

→ |J| = r

Resolución de la integral triple en coordenadas polares

Resolución de la integral triple en coordenadas polares

Los límites de integración son los mismos:

0 ≤ r ≤ 2·cos θ

-π/2 ≤ r ≤ π/2

Resolución de la integral doble en coordenadas polares

Resolución de la integral en coordenadas polares

Resolución de la integral en coordenadas polares

Resolución de la integral en coordenadas polares

Resolución de la integral en coordenadas polares

Cálculo del momento de inercia

Cálculo del momento de inercia

Resultado, el momento de inercia del sólido es:

Cálculo del momento de inercia

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Signos utilizados en las fórmulas y cálculos:

  • Signo separador de miles: punto (.)
  • Signo separador decimal: coma (,)
  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o × (para producto vectorial)
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

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