Fisicanet ®

Contenido: Solución del ejercicio n° 7 de integrales triples. Cálculo del momento de inercia de sólidos homogéneos. Problema resuelto.

Problema n° 7 de integrales

Problema n° 7

Calcular el momento de inercia, respecto del eje z, del siguiente sólido homogéneo

{(x, y, z): x² + y² ≤ z², (x - 1)² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 4}

Desarrollo

Fórmulas:

Para sólidos homogéneos: Iz = D (x² + y²) dx·dy·dz

Solución

Gráfico del dominio para el cálculo del momento de inercia
Gráfico del dominio para el cálculo del momento de inercia

Calculamos el volumen:

V = D dx·dy·dz

Cálculo del volumen del dominio

Cálculo del volumen del dominio

Cambiando a coordenadas polares:

x = r·cos θ
y = r·sen θ
→ |J| = r

Cálculo del volumen en coordenadas polares

Cálculo del volumen en coordenadas polares

Hallamos el límite de integración correspondiente a r:

(x - 1)² + y² = 1

(r·cos θ - 1)² + (r·sen θ)² = 1

r²·cos² θ - 2·r·cos θ + 1 + r²·sen² θ = 1

r²·(cos² θ + sen² θ) - 2·r·cos θ = 0

r² - 2·r·cos θ = 0

r·(r - 2·cos θ) = 0

0 ≤ r ≤ 2·cos θ

Para θ:

-π/2 ≤ θ ≤ π/2

Cálculo del volumen en coordenadas polares

Cálculo del volumen en coordenadas polares

Cálculo del volumen en coordenadas polares

Cálculo del volumen en coordenadas polares

Ahora calculamos la integral:

Iz = D (x² + y²)·dx·dy·dz

Resolución de la integral triple

Cambiando a coordenadas polares:

x = r·cos θ
y = r·sen θ
→ |J| = r

Resolución de la integral triple en coordenadas polares

Resolución de la integral triple en coordenadas polares

Los límites de integración son los mismos:

0 ≤ r ≤ 2·cos θ

-π/2 ≤ r ≤ π/2

Resolución de la integral doble en coordenadas polares

Resolución de la integral en coordenadas polares

Resolución de la integral en coordenadas polares

Resolución de la integral en coordenadas polares

Resolución de la integral en coordenadas polares

Cálculo del momento de inercia

Cálculo del momento de inercia

Resultado, el momento de inercia del sólido es:

Cálculo del momento de inercia

This work by Ricardo Santiago Netto is licensed under CC BY-NC-SA 4.0

Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso.

Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.