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Solución del ejercicio n° 7 de integrales triples. Cálculo del momento de inercia de sólidos homogéneos. Problema resuelto.
Problema n° 7 de integrales
Problema n° 7
Calcular el momento de inercia, respecto del eje z, del siguiente sólido homogéneo
{(x, y, z): x² + y² ≤ z², (x - 1)² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 4}
Desarrollo
Fórmulas:
Para sólidos homogéneos: Iz = ∭D (x² + y²) dx·dy·dz
Solución
Gráfico del dominio para el cálculo del momento de inercia
Calculamos el volumen:
V = ∭D dx·dy·dz
Cambiando a coordenadas polares:
x = r·cos θ y = r·sen θ | → |J| = r |
Hallamos el límite de integración correspondiente a r:
(x - 1)² + y² = 1
(r·cos θ - 1)² + (r·sen θ)² = 1
r²·cos² θ - 2·r·cos θ + 1 + r²·sen² θ = 1
r²·(cos² θ + sen² θ) - 2·r·cos θ = 0
r² - 2·r·cos θ = 0
r·(r - 2·cos θ) = 0
0 ≤ r ≤ 2·cos θ
Para θ:
-π/2 ≤ θ ≤ π/2
V = 16·[π/4 - 2/3 + (2/3)·(1/3)]
V = 4·π - 16·(4/9)
V = 4·π - 64/9
Ahora calculamos la integral:
Iz = ∭D (x² + y²)·dx·dy·dz
Cambiando a coordenadas polares:
x = r·cos θ y = r·sen θ | → |J| = r |
Los límites de integración son los mismos:
0 ≤ r ≤ 2·cos θ
-π/2 ≤ r ≤ π/2
Resultado, el momento de inercia del sólido es:
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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