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Problema n° 7 de integrales

Enunciado del ejercicio n° 7

Calcular el momento de inercia, respecto del eje z, del siguiente sólido homogéneo

{(x, y, z): x² + y² ≤ z², (x - 1)² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 4}

Desarrollo

Fórmulas:

Para sólidos homogéneos:

Iz = D (x² + y²) dx·dy·dz

Solución

Gráfico del dominio para el cálculo del momento de inercia
Gráfico del dominio para el cálculo del momento de inercia

Calculamos el volumen:

V = D dx·dy·dz

V = Dxy dx·dy4dz
 
x² + y²
V = Dxy [z]4dx·dy
 
x² + y²

V = Dxy (4 - x² + y²)·dx·dy

Cambiando a coordenadas polares:

x = r·cos θ
y = r·sen θ
→ |J| = r

V = D'xy [4 - (r·cos θ)² + (r·sen θ)²]·r·dθ·dr

V = D'xy (4 - r²·cos² θ + r²·sen² θ)·r·dθ·dr

V = D'xy [4 - r²·(cos² θ + sen² θ)]·r·dθ·dr

V = D'xy (4 - )·r·dθ·dr

V = D'xy (4·r - r²)·dθ·dr

Hallamos el límite de integración correspondiente a r:

(x - 1)² + y² = 1

(r·cos θ - 1)² + (r·sen θ)² = 1

r²·cos² θ - 2·r·cos θ + 1 + r²·sen² θ = 1

r²·(cos² θ + sen² θ) - 2·r·cos θ = 0

r² - 2·r·cos θ = 0

r·(r - 2·cos θ) = 0

0 ≤ r ≤ 2·cos θ

Para θ:

-π/2 ≤ θ ≤ π/2

V = π/22·cos θ(4·r - r²)·dr
  
-π/20
V = 2·π/2[4·½·r² - ⅓·r³]2·cos θ
  
00
V = 2·π/2[2·(2·cos θ)² - ⅓·(2·cos θ)³]·dθ
 
0
V = 2·π/2(2·4·cos² θ - ⅓·8·cos³ θ)·dθ
 
0
V = 2·π/2(8·cos² θ - ⅓·8·cos³ θ)·dθ
 
0
V = 16·π/2(cos² θ - ⅓·cos³ θ)·dθ
 
0

cos³ θ = cos θ·(1 - sen² θ) = cos θ - cos θ·sen² θ

V = 16·π/2[cos² θ - ⅓·(cos θ - cos θ·sen² θ)]·dθ
 
0
V = 16·π/2(cos² θ - ⅓·cos θ - ⅓·cos θ·sen² θ)·dθ
 
0
V = 16·[½·θ + ½·sen θ·cos θ - ⅓·sen θ - ⅓·⅓·sen³ θ]π/2
 
0

V = 16·(½·π/2 + ½·sen π/2·cos π/2 - ⅓·sen π/2 - ⅑·sen³ π/2) - 16·(½·0 + ½·sen 0·cos 0 - ⅓·sen 0 - ⅑·sen³ 0)

V = 16·(¼·π + ½·1·0 - ⅓·1 - ⅑·1) - 16·(0 + ½·0·1 - ⅓·0 - ⅑·0)

V = 16·(¼·π - ⅓ - ⅑)

V = 16·(¼·π - 4/9)

V = 4·π - 16·(4/9)

V = 4·π - 64/9

Ahora calculamos la integral:

Iz = D (x² + y²)·dx·dy·dz

Iz =M
V
·Dxy (x² + y²)·dx·dy4·dz
 
x² + y²
Iz =M
V
·Dxy [z]4(x² + y²)·dx·dy
 
x² + y²
Iz =M
V
·Dxy (4 - x² + y²)·(x² + y²)·dx·dy

Cambiando a coordenadas polares:

x = r·cos θ
y = r·sen θ
→ |J| = r
Iz =M
V
·D'xy [4 - (r·cos θ)² + (r·sen θ)²]·[(r·cos θ)² + (r·sen θ)²]·r·dθ·dr
Iz =M
V
·D'xy (4 - r²·cos² θ + r²·sen² θ)·(r²·cos² θ + r²·sen² θ)·r·dθ·dr
Iz =M
V
·D'xy [4 - r²·(cos² θ + sen² θ)]·r²·(cos² θ + sen² θ)·r·dθ·dr
Iz =M
V
·D'xy (4 - r²·1)·r³·1·dθ·dr
Iz =M
V
·D'xy (4 - )·r³·dθ·dr
Iz =M
V
·D'xy (4 - r)·r³·dθ·dr
Iz =M
V
·D'xy (4·r³ - r4)·dθ·dr

Los límites de integración son los mismos:

0 ≤ r ≤ 2·cos θ

-π/2 ≤ r ≤ π/2

Iz =M
V
π/22·cos θ(4·r³ - r4)·dr
  
-π/20
Iz =2·M
V
π/22·cos θ(4·r³ - r4)·dr
  
00
Iz =2·M
V
π/2[4·¼·r4 - ⅕·r5]2·cos θ·dθ
  
00
Iz =2·M
V
π/2[(2·cos θ)4 - ⅕·(2·cos θ)5]·dθ
 
0
Iz =2·M
V
π/2(16·cos4 θ - ⅕·32·cos5 θ)·dθ
 
0
Iz =32·M
V
π/2(cos4 θ - ⅖·cos5 θ)·dθ
 
0
Iz =32·M
V
π/2[(1 - sen² θ)·cos² θ - ⅖·cos θ·(1 - sen² θ)²]·dθ
 
0
Iz =32·M
V
π/2[cos² θ - sen² θ·cos² θ - ⅖·cos θ·(1 - 2·sen² θ + sen4 θ)]·dθ
 
0
Iz =32·M
V
π/2[cos² θ - (2·½·sen θ·cos θ)² - ⅖·cos θ·(1 - 2·sen² θ + sen4 θ)]·dθ
 
0
Iz =32·M
V
π/2[cos² θ - 4·sen² 2·θ - ⅖·cos θ·(1 - 2·sen² θ + sen4 θ)]·dθ
 
0
Iz =32·M
V
π/2(cos² θ - 4·sen² 2·θ)·dθ -64·M
5·V
π/2(1 - 2·sen² θ + sen4 θ)·d(sen θ)
  
00
Iz =32·M
V
·[(½·θ + ½·sen θ·cos θ) - 4·(2·½·θ - ½·sen 2·θ·cos 2·θ)]π/2-64·M
5·V
·[sen θ - 2·⅓·sen³ θ + ⅕·sen5 θ]π/2
  
00
Iz =32·M
V
·{[½·(π/2 + sen π/2·cos π/2) - 4·(π/2 - ½·sen 2·π/2·cos 2·π/2)] - [½·(0 + sen 0·cos 0) - 4·(0 - ½·sen 2·0·cos 2·0)]} -
-64·M
5·V
·[(sen π/2 - ⅔·sen³ π/2 + ⅕·sen5 π/2) - (sen 0 - ⅔·sen³ 0 + ⅕·sen5 0)]
Iz =32·M
V
·(½·π/2 - 4·π/2) -64·M
5·V
·(1 - ⅔ + ⅕)
Iz =32·M
V
·(¼·π - 2·π) -64·M
5·V
·(15 - 10 + 3
15
)
Iz =32·M
V
·-7·π
4
-64·M
5·V
·8
15
Iz = (-56·π -512
75
M
V

Resultado, el momento de inercia del sólido es:

Iz = 8·(-7·π -64M
754·(π - 16/9)
Iz =525·π + 64·2·M
75(-9·π - 16)/9
Iz =525·π + 64·6·M
25-9·π - 16
Iz =6·M·525·π + 64
25-9·π - 16

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