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Solución del ejercicio n° 7 de integrales triples. Cálculo del momento de inercia de sólidos homogéneos. Problema resuelto.

Problema n° 7 de integrales

Problema n° 7

Calcular el momento de inercia, respecto del eje z, del siguiente sólido homogéneo

{(x, y, z): x² + y² ≤ z², (x - 1)² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 4}

Desarrollo

Fórmulas:

Para sólidos homogéneos: Iz = D (x² + y²) dx·dy·dz

Solución

Gráfico del dominio para el cálculo del momento de inercia
Gráfico del dominio para el cálculo del momento de inercia

Calculamos el volumen:

V = D dx·dy·dz

Cálculo del volumen del dominio

Cambiando a coordenadas polares:

x = r·cos θ
y = r·sen θ
→ |J| = r

Cálculo del volumen en coordenadas polares

Hallamos el límite de integración correspondiente a r:

(x - 1)² + y² = 1

(r·cos θ - 1)² + (r·sen θ)² = 1

r²·cos² θ - 2·r·cos θ + 1 + r²·sen² θ = 1

r²·(cos² θ + sen² θ) - 2·r·cos θ = 0

r² - 2·r·cos θ = 0

r·(r - 2·cos θ) = 0

0 ≤ r ≤ 2·cos θ

Para θ:

-π/2 ≤ θ ≤ π/2

Cálculo del volumen en coordenadas polares

V = 16·[π/4 - 2/3 + (2/3)·(1/3)]

V = 4·π - 16·(4/9)

V = 4·π - 64/9

Ahora calculamos la integral:

Iz = D (x² + y²)·dx·dy·dz

Resolución de la integral triple

Cambiando a coordenadas polares:

x = r·cos θ
y = r·sen θ
→ |J| = r

Resolución de la integral triple en coordenadas polares

Los límites de integración son los mismos:

0 ≤ r ≤ 2·cos θ

-π/2 ≤ r ≤ π/2

Resolución de la integral doble en coordenadas polares

Resolución de la integral en coordenadas polares

Resolución de la integral en coordenadas polares

Resultado, el momento de inercia del sólido es:

Cálculo del momento de inercia

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