Problema n° 7 de integrales.

Problema n° 7) Calcular el momento de inercia, respecto del eje z, del siguiente sólido homogéneo

{(x, y, z): x² + y² ≤ z², (x - 1)² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 4}

Desarrollo

Fórmulas:

Solución

Gráfico del dominio para el cálculo del momento de inercia

Calculamos el volumen:

V = ∭_D dx·dy·dz

Cambiando a coordenadas polares:

Hallamos el límite de integración correspondiente a r:

(x - 1)² + y² = 1

(r·cos θ - 1)² + (r·sen θ)² = 1

r²·cos² θ - 2·r·cos θ + 1 + r²·sen² θ = 1

r²·(cos² θ + sen² θ) - 2·r·cos θ = 0

r² - 2·r·cos θ = 0

r·(r - 2·cos θ) = 0

0 ≤ r ≤ 2·cos θ

Para θ:

-π/2 ≤ θ ≤ π/2

Ahora calculamos la integral:

I_z = ∭_D (x² + y²)·dx·dy·dz

Cambiando a coordenadas polares:

Los límites de integración son los mismos:

0 ≤ r ≤ 2·cos θ

-π/2 ≤ r ≤ π/2

Resultado, el momento de inercia del sólido es: