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Guía de ejercicios de momento de inercia. TP08

Integrales: Solución del ejercicio n° 7 de integrales triples. Cálculo del momento de inercia de sólidos homogéneos. Problema resuelto.

Problema n° 7 de integrales.

Problema n° 7) {(x,y,z): x² + y² ≤ z², (x - 1)² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 4}


Gráfico del dominio para el cálculo del momento de inercia

Calculamos el volumen:

V = ∫∫∫D dx·dy·dz

Cálculo del volumen del dominio

Cálculo del volumen del dominio

Cambiando a coordenadas polares:

x = r·cos θ

y = r·sen θ

→ |J| = r

Cálculo del volumen en coordenadas polares

Cálculo del volumen en coordenadas polares

Hallamos el límite de integración correspondiente a r:

(x - 1)² + y² = 1

(r·cos θ - 1)² + (r·sen θ)² = 1

r²·cos² θ - 2·r·cos θ + 1 + r²·sen² θ = 1

r²·(cos² θ + sen² θ) - 2·r·cos θ = 0

r² - 2·r·cos θ = 0

r·(r - 2·cos θ) = 0

0 ≤ r ≤ 2·cos θ

Para θ:

-π/2 ≤ θ ≤ π/2

Cálculo del volumen en coordenadas polares

Cálculo del volumen en coordenadas polares

Cálculo del volumen en coordenadas polares

Cálculo del volumen en coordenadas polares

Ahora calculamos la integral:

Iz = ∫∫∫D (x² + y²)·dx·dy·dz

Resolución de la integral triple

Cambiando a coordenadas polares:

x = r·cos θ

y = r·sen θ

→ |J| = r

Resolución de la integral triple en coordenadas polares

Resolución de la integral triple en coordenadas polares

Los límites de integración son los mismos:

0 ≤ r ≤ 2·cos θ

-π/2 ≤ r ≤ π/2

Resolución de la integral doble en coordenadas polares

Resolución de la integral en coordenadas polares

Resolución de la integral en coordenadas polares

Resolución de la integral en coordenadas polares

Resolución de la integral en coordenadas polares

Cálculo del momento de inercia

Cálculo del momento de inercia

Luego:

Cálculo del momento de inercia

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