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Solución del ejercicio n° 1 de integrales superficiales de campos vectoriales. Problema resuelto. Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de una esfera

Problema n° 1 de integrales superficiales de campos vectoriales

Problema n° 1

Calcular el flujo saliente del campo (x, y, z) a través de la esfera x² + y² + z² = 1.

Si:

F = (x, y, z)

S: x² + y² + z² = 1

Desarrollo

Fórmulas:

S F(x)·ds = D F(X(u, v))·(Xu ∧ Xv)·du·dv

Solución

Parametrizando la esfera:

x = (cos θ)·(sen φ)

y = (sen θ)·(sen φ)

z = cos φ

X(θ, φ) = ((cos θ)·(sen φ),(sen θ)·(sen φ), cos φ)

0 ≤ θ ≤ 2·π

0 ≤ φ ≤ π

Hallamos el vector normal:

Xθ = (-(sen θ)·(sen φ), (cos θ)·(sen φ), 0)

Xφ = (cos θ)·(cos φ), (sen θ)·(cos φ), -sen φ)

n = Xθ ∧ Xφ =E1-E2E3
-(sen θ)·(sen φ)(cos θ)·(sen φ)0
(cos θ)·(cos φ)(sen θ)·(cos φ)-sen φ

n = Xθ ∧ Xφ = [-sen φ·(cos θ)·(sen φ), -(-(sen θ)·(sen φ))·(-sen φ), -(sen θ)·(sen φ)·(sen θ)·(cos φ) - (cos θ)·(sen φ)·(cos θ)·(cos φ)]

n = [-(sen² φ)·(cos θ), -(sen θ)·(sen² φ), -(sen² θ)·(sen φ)·(cos φ) - (cos² θ)·(sen φ)·(cos φ)]

n = [-(sen² φ)·(cos θ), -(sen θ)·(sen² φ), -(sen φ)·(cos φ)·(sen² θ + cos² θ)]

n = [-(sen² φ)·(cos θ), -(sen θ)·(sen² φ), -(sen φ)·(cos φ)]

n = [-(sen φ)·(sen φ)·(cos θ),(sen θ)·(sen φ), cos φ]

Para el punto:

(0, 1, 0) ⇒ θ = π/2 y φ ≤ π/2

El vector normal apunta hacia adentro de la esfera:

n = -1·(0, 1, 0)

Como se pide el flujo saliente se le cambia el sentido al vector normal:

n = sen φ·(sen φ·cos θ, sen φ·sen θ, cos φ)

Parametrizamos el campo:

F = (x, y, z) ⇒ F(X(θ, φ)) = ((cos θ)·(sen φ),(sen θ)·(sen φ), cos φ)

Aplicamos la integral:

S F(x)·ds = D F(X(θ, φ))·n·dθ·dφ =

= D [(cos θ)·(sen φ),(sen θ)·(sen φ), cos φ]·(sen φ)·(sen φ)·(cos θ), sen φ·sen θ, cos φ)·dθ·dφ =

= D (cos² θ·sen² φ + sen² θ·sen² φ + cos² φ)·sen φ·dθ·dφ =

= D [(cos² θ + sen² θ)·sen² φ + cos² φ]·sen φ·dθ·dφ =

= D (sen² φ + cos² φ)·sen φ·dθ·dφ =

= D sen φ·dθ·dφ =

Cálculo del flujo saliente

= 2·π·(cos 0 - cos π) = 2·π·(1 - (-1)) = 2·π·(1 + 1) = 4·π

Resultado, el flujo saliente del campo es:

Flujo = 4·π

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