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Guía n° 9 de ejercicios de integrales superficiales

Resolver los siguientes ejercicios

Fórmulas aplicables:

S F(x)·ds = D F(X(u, v))·(Xu ∧ Xv)·du·dv

Problema n° 1)
Calcular el flujo saliente del campo (x, y, z) a través de la esfera x² + y² + z² = 1.

Si:

F = (x, y, z)

S: x² + y² + z² = 1

Solución del problema n° 1

Problema n° 2)
Calcular el flujo entrante del campo (y, x, z²) a través de la hemisferio x² + y² + z² = 1, z ≥ 0

Si:

F = (y, x, z²)

S: x² + y² + z² = 1, z ≥ 0

Solución del problema n° 2

Problema n° 3)
Calcular el flujo saliente del campo (y, z·x, 1) a través de la esfera (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R².

Si:

F = (y, z·x, 1)

S: (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

Problema n° 4)
Calcular el flujo saliente del campo (x² + y²)½·(y, -x, 1) a través de la porción de paraboloide

z = 1 - x² - y², z ≥ 0.

Si:

F = (x² + y²)½·(y, -x, 1)

S: z = 1 - x² - y² ⇒ z = 1 - (x² + y²)

Solución del problema n° 4

Problema n° 5)
Calcular la integral del campo (x - y, y - z, z - x) sobre la página de la superficie x + y + z = 1, x ≤ 0, y ≤ 0, z ≤ 0, opuesta al origen de coordenadas.

Problema n° 6)
Calcular el flujo saliente del campo (y - z, z - x, x - y) a través de la superficie cónica z² = x² + y², 0 ≤ z ≤ h.

Si:

F = (y - z, z - x, x - y)

S: z² = x² + y² ⇒ z = (x² + y²)½

Solución del problema n° 6

Problema n° 7)
Calcular el flujo saliente del campo (0, x²·z, log z) a través del tronco de cilindro (x - a)² + (y - b)² = R², 1 ≤ z ≤ 2.

Problema n° 8)
Calcular la integral del campo (x, y, z) sobre la página de la superficie (u - v, u + v, u·v), 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2 definida por la parametrización.

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