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Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de un hemisferio

Problema n° 2 de integrales superficiales de campos vectoriales

Enunciado del ejercicio n° 2

Calcular el flujo entrante del campo (y, x, z²) a través de la hemisferio x² + y² + z² = 1, z ≥ 0

Si:

F = (y, x, z²)

S: x² + y² + z² = 1, z ≥ 0

Desarrollo

Fórmulas:

S F(x)·ds = D F(X(u, v))·(Xu ∧ Xv)·du·dv

Solución

Parametrizando la esfera:

x = (cos θ)·(sen φ)

y = (sen θ)·(sen φ)

z = cos φ

X(θ, φ) = ((cos θ)·(sen φ),(sen θ)·(sen φ), cos φ)

0 ≤ θ ≤ 2·π

0 ≤ φ ≤ π/2

Hallamos el vector normal:

Xθ = (-(sen θ)·(sen φ), (cos θ)·(sen φ), 0)

Xφ = ((cos θ)·(cos φ), (sen θ)·(cos φ), -sen φ)

n = Xθ ∧ Xφ

n =E1-E2E3
-(sen θ)·(sen φ)(cos θ)·(sen φ)0
(cos θ)·(cos φ)(sen θ)·(cos φ)-sen φ

n = Xθ ∧ Xφ = [-sen φ·(cos θ)·(sen φ), -(-(sen θ)·(sen φ))·(-sen φ), -(sen θ)·(sen φ)·(sen θ)·(cos φ) - (cos θ)·(sen φ)·cos θ·cos φ]

n = [-(sen² φ)·(cos θ), -(sen θ)·(sen² φ), -(sen² θ)·(sen φ)·(cos φ) - (cos² θ)·(sen φ)·(cos φ)]

n = [-(sen² φ)·(cos θ), -(sen θ)·(sen² φ), -(sen φ)·(cos φ)·(sen² θ + cos² θ)]

n = [-(sen² φ)·(cos θ), -(sen θ)·(sen² φ), -(sen φ)·(cos φ)]

n = [-(sen φ)·(sen φ)·(cos θ), (sen θ)·(sen φ), cos φ]

Para el punto:

(0, 1, 0) ⇒ θ = π/2 y φ ≤ π/2

El vector normal apunta hacia adentro de la esfera:

n = -1·(0, 1, 0)

Como se pide el flujo entrante el vector normal es el buscado.

Parametrizamos el campo:

F(X(θ, φ)) = (sen φ·sen θ, sen φ·cos θ, cos² φ)

Aplicamos la integral:

S F(x)·ds = D F(X(θ, φ))·n·dθ·dφ =

= D (sen φ·sen θ, sen φ·cos θ, cos² φ)·[-(sen φ)·(sen φ)·(cos θ), (sen θ)·(sen φ), cos φ]·dθ·dφ =

= -D (sen² φ·sen θ·cos θ + sen² φ·sen θ·cos θ + cos³ φ)·sen φ·dθ·dφ =

= -D [2·(sen² φ)·(sen θ)·cos θ + cos³ φ]·sen φ·dθ·dφ =

= -D [2·(1 - cos² φ)·sen θ·cos θ + cos³ φ]·sen φ·dθ·dφ =

= -D (2·sen θ·(cos θ) - 2·(cos² φ)·(sen θ)·(cos θ) + cos³ φ)·sen φ·dθ·dφ =

= -D (2·(sen θ)·(cos θ)·(sen φ) - 2·sen θ·cos θ·cos² φ·sen φ + cos³ φ·sen φ)·dθ·dφ =

= -2·D (sen θ)·(cos θ)·(sen φ)·dθ·dφ - 2·D sen θ·cos θ·cos² φ·sen φ·dθ·dφ + D cos³ φ·sen φ·dθ·dφ =

= -2·2·πsen θ·cos θ·dθ·π/4sen φ·dφ + 2·2·πsen θ·cos θ·dθ·π/4cos² φ·sen φ·dφ - 2·πdθ·π/4cos³ φ·sen φ·dφ =
      
000000
= 2·2·πsen θ·cos θ·dθ·π/4(-sen φ)·dφ + 2·2·πsen θ·cos θ·dθ·π/4cos² φ·d(cos φ) - 2·πdθ·π/4cos³ φ·d(cos φ) =
      
000000

Integrando entre los límites:

= 2·2·πsen θ·cos θ·(cos φ)π/2dθ + 2·2·πsen θ·cos θ·(⅓·cos³ φ)0dθ - 2·π(¼·cos4 φ)0dθ =
      
000π/20π/2
= 2·2·πsen θ·cos θ·(cos π/2 - cos 0)·dθ + 2·2·π⅓·sen θ·cos θ·(cos³ 0 - cos³ π/2)·dθ - 2·π¼·(cos4 0 - cos4 π/2)·dθ =
   
000
= 2·2·πsen θ·cos θ·(0 - 1)·dθ + 2·⅓·2·πsen θ·cos θ·(1 - 0)·dθ - ¼·2·π(1 - 0)·dθ =
   
000
= -2·2·πsen θ·cos θ·dθ + ⅔·2·πsen θ·cos θ·dθ - ¼·2·πdθ =
   
000
= -(4/3)·2·πsen θ·cos θ·dθ - ¼·[θ]2·π=
  
00
= -(4/3)·2·πcos θ·d(sen θ) - ¼·(2·π - 0) =
 
0
= -(4/3)·[½·cos² θ]2·π- ½·π =
 
0

= -(4/3)·½·(cos² 2·π - cos² 0) - ½·π =

= -⅔·(1 - 1) - ½·π =

= -⅔·0 - ½·π =

Resultado, el flujo saliente del campo es:

Flujo = -½·π

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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