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Solución del ejercicio n° 2 de integrales superficiales de campos vectoriales. Problema resuelto.Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de un hemisferio

Problema n° 2 de integrales superficiales de campos vectoriales

Problema n° 2

Calcular el flujo entrante del campo (y, x, z²) a través de la hemisferio x² + y² + z² = 1, z ≥ 0

Si:

F = (y, x, z²)

S: x² + y² + z² = 1, z ≥ 0

Desarrollo

Fórmulas:

∬_S F(x)·ds = ∬_D F(X(u, v))·(X_u ∧ X_v)·du·dv

Solución

Parametrizando la esfera:

x = (cos θ)·(sen φ)

y = (sen θ)·(sen φ)

z = cos φ

X(θ, φ) = ((cos θ)·(sen φ),(sen θ)·(sen φ), cos φ)

0 ≤ θ ≤ 2·π

0 ≤ φ ≤ π/2

Hallamos el vector normal:

X_θ = (-(sen θ)·(sen φ), (cos θ)·(sen φ), 0)

X_φ = ((cos θ)·(cos φ), (sen θ)·(cos φ), -sen φ)

n = X_θ ∧ X_φ = [-sen φ·(cos θ)·(sen φ), -(-(sen θ)·(sen φ))·(-sen φ), -(sen θ)·(sen φ)·(sen θ)·(cos φ) - (cos θ)·(sen φ)·cos θ·cos φ]

n = [-(sen² φ)·(cos θ), -(sen θ)·(sen² φ), -(sen² θ)·(sen φ)·(cos φ) - (cos² θ)·(sen φ)·(cos φ)]

n = [-(sen² φ)·(cos θ), -(sen θ)·(sen² φ), -(sen φ)·(cos φ)·(sen² θ + cos² θ)]

n = [-(sen² φ)·(cos θ), -(sen θ)·(sen² φ), -(sen φ)·(cos φ)]

n = [-(sen φ)·(sen φ)·(cos θ),(sen θ)·(sen φ), cos φ]

Para el punto:

(0, 1, 0) ⇒ θ = π/2 y φ ≤ π/2

El vector normal apunta hacia adentro de la esfera:

n = -1·(0, 1, 0)

Como se pide el flujo entrante el vector normal es el buscado:

Parametrizamos el campo:

F(X(θ, φ)) = (sen φ·sen θ, sen φ·cos θ, cos² φ)

Aplicamos la integral:

∬_S F(x)·ds = ∬_D F(X(θ, φ))·n·dθ·dφ =

= ∬_D (sen φ·sen θ, sen φ·cos θ, cos² φ)·[-(sen φ)·(sen φ)·(cos θ), (sen θ)·(sen φ), cos φ]·dθ·dφ =

= -∬_D (sen² φ·sen θ·cos θ + sen² φ·sen θ·cos θ + cos³ φ)·sen φ·dθ·dφ =

= -∬_D [2·(sen² φ)·(sen θ)·cos θ + cos³ φ]·sen φ·dθ·dφ =

= -∬_D [2·(1 - cos² φ)·sen θ·cos θ + cos³ φ]·sen φ·dθ·dφ =

= -∬_D (2·sen θ·(cos θ) - 2·(cos² φ)·(sen θ)·(cos θ) + cos³ φ)·sen φ·dθ·dφ =

= -∬_D (2·(sen θ)·(cos θ)·(sen φ) - 2·sen θ·cos θ·cos² φ·sen φ + cos³ φ·sen φ)·dθ·dφ =

= - 2·∬_D (sen θ)·(cos θ)·(sen φ)·dθ·dφ - 2·∬_D sen θ·cos θ·cos² φ·sen φ·dθ·dφ + ∬_D cos³ φ·sen φ·dθ·dφ =

Integrando entre los límites:

Resultado, el flujo saliente del campo es:

Flujo = -π/2

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