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Solución del ejercicio n° 2 de integrales superficiales de campos vectoriales. Problema resuelto. Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de un hemisferio
Problema n° 2 de integrales superficiales de campos vectoriales
Problema n° 2
Calcular el flujo entrante del campo (y, x, z²) a través de la hemisferio x² + y² + z² = 1, z ≥ 0
Si:
F = (y, x, z²)
S: x² + y² + z² = 1, z ≥ 0
Desarrollo
Fórmulas:
∬S F(x)·ds = ∬D F(X(u, v))·(Xu ∧ Xv)·du·dv
Solución
Parametrizando la esfera:
x = (cos θ)·(sen φ)
y = (sen θ)·(sen φ)
z = cos φ
X(θ, φ) = ((cos θ)·(sen φ),(sen θ)·(sen φ), cos φ)
0 ≤ θ ≤ 2·π
0 ≤ φ ≤ π/2
Hallamos el vector normal:
Xθ = (-(sen θ)·(sen φ), (cos θ)·(sen φ), 0)
Xφ = ((cos θ)·(cos φ), (sen θ)·(cos φ), -sen φ)
n = Xθ ∧ Xφ = | E1 | -E2 | E3 |
-(sen θ)·(sen φ) | (cos θ)·(sen φ) | 0 | |
(cos θ)·(cos φ) | (sen θ)·(cos φ) | -sen φ |
n = Xθ ∧ Xφ = [-sen φ·(cos θ)·(sen φ), -(-(sen θ)·(sen φ))·(-sen φ), -(sen θ)·(sen φ)·(sen θ)·(cos φ) - (cos θ)·(sen φ)·cos θ·cos φ]
n = [-(sen² φ)·(cos θ), -(sen θ)·(sen² φ), -(sen² θ)·(sen φ)·(cos φ) - (cos² θ)·(sen φ)·(cos φ)]
n = [-(sen² φ)·(cos θ), -(sen θ)·(sen² φ), -(sen φ)·(cos φ)·(sen² θ + cos² θ)]
n = [-(sen² φ)·(cos θ), -(sen θ)·(sen² φ), -(sen φ)·(cos φ)]
n = [-(sen φ)·(sen φ)·(cos θ),(sen θ)·(sen φ), cos φ]
Para el punto:
(0, 1, 0) ⇒ θ = π/2 y φ ≤ π/2
El vector normal apunta hacia adentro de la esfera:
n = -1·(0, 1, 0)
Como se pide el flujo entrante el vector normal es el buscado:
Parametrizamos el campo:
F(X(θ, φ)) = (sen φ·sen θ, sen φ·cos θ, cos² φ)
Aplicamos la integral:
∬S F(x)·ds = ∬D F(X(θ, φ))·n·dθ·dφ =
= ∬D (sen φ·sen θ, sen φ·cos θ, cos² φ)·[-(sen φ)·(sen φ)·(cos θ), (sen θ)·(sen φ), cos φ]·dθ·dφ =
= -∬D (sen² φ·sen θ·cos θ + sen² φ·sen θ·cos θ + cos³ φ)·sen φ·dθ·dφ =
= -∬D [2·(sen² φ)·(sen θ)·cos θ + cos³ φ]·sen φ·dθ·dφ =
= -∬D [2·(1 - cos² φ)·sen θ·cos θ + cos³ φ]·sen φ·dθ·dφ =
= -∬D (2·sen θ·(cos θ) - 2·(cos² φ)·(sen θ)·(cos θ) + cos³ φ)·sen φ·dθ·dφ =
= -∬D (2·(sen θ)·(cos θ)·(sen φ) - 2·sen θ·cos θ·cos² φ·sen φ + cos³ φ·sen φ)·dθ·dφ =
= - 2·∬D (sen θ)·(cos θ)·(sen φ)·dθ·dφ - 2·∬D sen θ·cos θ·cos² φ·sen φ·dθ·dφ + ∬D cos³ φ·sen φ·dθ·dφ =
Integrando entre los límites:
Resultado, el flujo saliente del campo es:
Flujo = -π/2
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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