Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de un hemisferio
Problema n° 2 de integrales superficiales de campos vectoriales
Enunciado del ejercicio n° 2
Calcular el flujo entrante del campo (y, x, z²) a través de la hemisferio x² + y² + z² = 1, z ≥ 0
Si:
F = (y, x, z²)
S: x² + y² + z² = 1, z ≥ 0
Desarrollo
Fórmulas:
∬S F(x)·ds = ∬D F(X(u, v))·(Xu ∧ Xv)·du·dv
Solución
Parametrizando la esfera:
x = (cos θ)·(sen φ)
y = (sen θ)·(sen φ)
z = cos φ
X(θ, φ) = ((cos θ)·(sen φ),(sen θ)·(sen φ), cos φ)
0 ≤ θ ≤ 2·π
0 ≤ φ ≤ π/2
Hallamos el vector normal:
Xθ = (-(sen θ)·(sen φ), (cos θ)·(sen φ), 0)
Xφ = ((cos θ)·(cos φ), (sen θ)·(cos φ), -sen φ)
n = Xθ ∧ Xφ
| n = | E1 | -E2 | E3 |
| -(sen θ)·(sen φ) | (cos θ)·(sen φ) | 0 | |
| (cos θ)·(cos φ) | (sen θ)·(cos φ) | -sen φ |
n = Xθ ∧ Xφ = [-sen φ·(cos θ)·(sen φ), -(-(sen θ)·(sen φ))·(-sen φ), -(sen θ)·(sen φ)·(sen θ)·(cos φ) - (cos θ)·(sen φ)·cos θ·cos φ]
n = [-(sen² φ)·(cos θ), -(sen θ)·(sen² φ), -(sen² θ)·(sen φ)·(cos φ) - (cos² θ)·(sen φ)·(cos φ)]
n = [-(sen² φ)·(cos θ), -(sen θ)·(sen² φ), -(sen φ)·(cos φ)·(sen² θ + cos² θ)]
n = [-(sen² φ)·(cos θ), -(sen θ)·(sen² φ), -(sen φ)·(cos φ)]
n = [-(sen φ)·(sen φ)·(cos θ), (sen θ)·(sen φ), cos φ]
Para el punto:
(0, 1, 0) ⇒ θ = π/2 y φ ≤ π/2
El vector normal apunta hacia adentro de la esfera:
n = -1·(0, 1, 0)
Como se pide el flujo entrante el vector normal es el buscado.
Parametrizamos el campo:
F(X(θ, φ)) = (sen φ·sen θ, sen φ·cos θ, cos² φ)
Aplicamos la integral:
∬S F(x)·ds = ∬D F(X(θ, φ))·n·dθ·dφ =
= ∬D (sen φ·sen θ, sen φ·cos θ, cos² φ)·[-(sen φ)·(sen φ)·(cos θ), (sen θ)·(sen φ), cos φ]·dθ·dφ =
= -∬D (sen² φ·sen θ·cos θ + sen² φ·sen θ·cos θ + cos³ φ)·sen φ·dθ·dφ =
= -∬D [2·(sen² φ)·(sen θ)·cos θ + cos³ φ]·sen φ·dθ·dφ =
= -∬D [2·(1 - cos² φ)·sen θ·cos θ + cos³ φ]·sen φ·dθ·dφ =
= -∬D (2·sen θ·(cos θ) - 2·(cos² φ)·(sen θ)·(cos θ) + cos³ φ)·sen φ·dθ·dφ =
= -∬D (2·(sen θ)·(cos θ)·(sen φ) - 2·sen θ·cos θ·cos² φ·sen φ + cos³ φ·sen φ)·dθ·dφ =
= -2·∬D (sen θ)·(cos θ)·(sen φ)·dθ·dφ - 2·∬D sen θ·cos θ·cos² φ·sen φ·dθ·dφ + ∬D cos³ φ·sen φ·dθ·dφ =
| = -2·∫ | 2·π | sen θ·cos θ·dθ·∫ | π/4 | sen φ·dφ + 2·∫ | 2·π | sen θ·cos θ·dθ·∫ | π/4 | cos² φ·sen φ·dφ - ∫ | 2·π | dθ·∫ | π/4 | cos³ φ·sen φ·dφ = |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| = 2·∫ | 2·π | sen θ·cos θ·dθ·∫ | π/4 | (-sen φ)·dφ + 2·∫ | 2·π | sen θ·cos θ·dθ·∫ | π/4 | cos² φ·d(cos φ) - ∫ | 2·π | dθ·∫ | π/4 | cos³ φ·d(cos φ) = |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Integrando entre los límites:
| = 2·∫ | 2·π | sen θ·cos θ·(cos φ) | π/2 | dθ + 2·∫ | 2·π | sen θ·cos θ·(⅓·cos³ φ) | 0 | dθ - ∫ | 2·π | (¼·cos4 φ) | 0 | dθ = |
| 0 | 0 | 0 | π/2 | 0 | π/2 |
| = 2·∫ | 2·π | sen θ·cos θ·(cos π/2 - cos 0)·dθ + 2·∫ | 2·π | ⅓·sen θ·cos θ·(cos³ 0 - cos³ π/2)·dθ - ∫ | 2·π | ¼·(cos4 0 - cos4 π/2)·dθ = |
| 0 | 0 | 0 |
| = 2·∫ | 2·π | sen θ·cos θ·(0 - 1)·dθ + 2·⅓·∫ | 2·π | sen θ·cos θ·(1 - 0)·dθ - ¼·∫ | 2·π | (1 - 0)·dθ = |
| 0 | 0 | 0 |
| = -2·∫ | 2·π | sen θ·cos θ·dθ + ⅔·∫ | 2·π | sen θ·cos θ·dθ - ¼·∫ | 2·π | dθ = |
| 0 | 0 | 0 |
| = -(4/3)·∫ | 2·π | sen θ·cos θ·dθ - ¼·[θ] | 2·π | = |
| 0 | 0 |
| = -(4/3)·∫ | 2·π | cos θ·d(sen θ) - ¼·(2·π - 0) = |
| 0 |
| = -(4/3)·[½·cos² θ] | 2·π | - ½·π = |
| 0 |
= -(4/3)·½·(cos² 2·π - cos² 0) - ½·π =
= -⅔·(1 - 1) - ½·π =
= -⅔·0 - ½·π =
Resultado, el flujo saliente del campo es:
Flujo = -½·π
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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