Problema nº 1 de teorema de Stokes en una superficie

Enunciado del ejercicio nº 1

Verificar el teorema de Stokes si F = (x, y, z) y S es la superficie z = x² + y², z ≤ 1.

dC = C'(t)·dt

dS = (Xᵤ ∧ Xᵥ)·du·dv

Determinante del rotor de F

Gráfico del dominio para el cálculo de la superficie

Gráfico del dominio para el cálculo de la superficie

Parametrizamos la superficie S₁:

X(u, v) = (u, v, 0), u² + v² ≤ 1

Calculamos n:

Xᵤ = (1, 0, 0)

Xᵥ = (0, 1, 0)

Cálculo del producto vectorial

n = (0, 0, 1)

n apunta hacia z > 0.

Hallamos el rotF:

Cálculo del rotor de F

rot F = (1 - 0, -0 + 1, 1 - 0)

rot F = (1, 1, 1)

Planteamos la integral del segundo miembro:

Cálculo del rotor de F

Pasando a sistema de coordenadas polares:

Teorema de Stokes en superficies

= 2·π·(½·1² - ½·0²) = 2·π·½ = π

Para el primer miembro parametrizamos la frontera de S₁, es decir ∂S:

C = (cos t, sen t, 1), 0 ≤ t ≤ 2·π

Preparamos las partes de la integral:

C' = (-sen t, cos t, 0)

F(C(t)) = (1, cos t, sen t)

Planteamos la integral del primer miembro:

Teorema de Stokes en superficies

= (cos 2·π - cos 0) + [2·π/2 - 0/2 + (sen 2·π·cos 2·π)/2 - (sen 0·cos 0)/2] = (1 - 1) + (π - 0 + 0·1/2 - 0·1/2) = π ∎

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo verificar el teorema de Stokes en una superficie