Ejemplo, cómo verificar el teorema de Stokes en una superficie

Problema n° 2 de teorema de Stokes

Enunciado del ejercicio n° 2

Verificar el teorema de Stokes si F = (x, y, z) y S es la superficie x² + y² = 1, z = 0, z = x + 3.

Desarrollo

Fórmulas:

∫_∂S F·dC = ∬_S rot F·dS

dC = C'(t)·dt

dS = (X_u ∧ X_v)·du·dv

rot F =	E₁	-E₂	E₃
	∂/∂x	∂/∂y	∂/∂z
	f₁	f₂	f₃

Solución

Gráfico del dominio para el cálculo de la superficie

Parametrizamos la superficie S:

x = cos θ

y = sen θ

z = z

0 ≤ z ≤ cos θ + 3

0 ≤ θ ≤ 2·π

X(θ, z) = (cos θ, sen θ, z)

Calculamos n:

X_θ = (-sen θ, cos θ,0)

X_z = (0, 0, 1)

n =	E₁	-E₂	E₃
	0	0	0
	0	0	1

n = (cos θ, sen θ, 0)

En el punto (1, 0, 0) → θ = 0 ⇒ n = (1, 0, 0) por lo que se trata de la página exterior.

Hallamos el rotF:

rot F =	E₁	-E₂	E₃
	∂/∂x	∂/∂y	∂/∂z
	x	y	z

rot F = (1 - 0, -0 + 1, 1 - 0) = (1, 1, 1)

Planteamos la integral del segundo miembro:

∬_S rot F·dS = ∬_D (1, 1, 1)·(cos θ, sen θ,0)·dθ·dz

∬_S rot F·dS = ∬_D (cos θ + sen θ)·dθ·dz

∬_S rot F·dS = ∫	2·π	dθ∫	cos θ + 3	(cos θ + sen θ)·dz =

	0		0

= ∫	2·π	(cos θ + sen θ)·[z]	cos θ + 3	·dθ =

	0		0

= ∫	2·π	(cos θ + sen θ)·(cos θ + 3)·dθ =

	0

= ∫	2·π	(cos² θ + sen θ·cos θ + 3·cos θ + 3·sen θ)·dθ =

	0

= ∫	2·π	cos² θ·dθ + ∫	2·π	sen θ·cos θ·dθ + ∫	2·π	3·cos θ·dθ + ∫	2·π	3·sen θ·dθ =

	0		0		0		0

= [½·θ + ½·sen θ·cos θ + ½·sen² θ + 3·sen θ + 3·(-cos θ)]	2·π	=

	0

= ½·2·π + ½·sen 2·π·cos 2·π + ½·sen² 2·π + 3·sen 2·π + 3·(-cos 2·π) - [½·0 + ½·sen 0·cos 0 + ½·sen² 0 + 3·sen 0 + 3·(-cos 0)] =

= (π + 3·(-1)) - (3·(-1)) = π - 3 + 3 = π

∬_D rotF·dS = π

Para el primer miembro parametrizamos la frontera de S, es decir ∂S que se compone de dos curvas:

C₁(t) = (cos t, sen t, 0)

C₂(t) = (cos t, sen t, cos t + 3)

0 ≤ t ≤ 2·π

Preparamos las partes de la integral:

C₁'(t) = (-sen t, cos t, 0)

C₂'(t) = (-sen t, cos t, -sen t)

F(C₁(t)) = (0, cos t, sen t)

F(C₂(t)) = (cos t + 3, cos t, sen t)

Planteamos la integral del primer miembro:

∫_∂S F·dC = ∫_C1 F·dC + ∫_C2 F·dC

∫_∂S F·dC = ∫	2·π	F(C₁(t))·C₁'(t)·dt - ∫	2·π	F(C₂(t))·C₂'(t)·dt

	0		0

∫_∂S F·dC = ∫	2·π	(0, cos t, sen t)·(-sen t, cos t, 0)·dt - ∫	2·π	(cos t + 3, cos t, sen t)·(-sen t, cos t, -sen t)·dt

	0		0

∫_∂S F·dC =

= ∫	2·π	cos² t·dt - ∫	2·π	(-sen t·cos t - 3·sen t + cos² t - sen² t)·dt =

	0		0

= ∫	2·π	cos² t·dt + ∫	2·π	sen t·cos t·dt + 3·∫	2·π	sen t·dt - ∫	2·π	cos² t·dt + ∫	2·π	sen² t·dt =

	0		0		0		0		0

= ∫	2·π	sen t·d(sen t) + 3·∫	2·π	sen t·dt + ∫	2·π	sen² t·dt =

	0		0		0

= [½·sen² t - 3·cos t + ½·t - ½·sen t·cos t]	2·π	=

	0

= ½·sen² 2·π - 3·cos 2·π + ½·2·π - ½·sen 2·π·cos 2·π - (½·sen² 0 - 3·cos 0 + ½·0 - ½·sen 0·cos 0) =

= ½·0 - 3·1 + π - ½·0·1 - (½·0 - 3·1 + ½·0 - ½·0·1) =

= - 3 + π - (- 3)

∫_∂S F·dC = π

Se verifica:

∫_∂S F·dC = ∬_S rotF·dS = π

Verificado

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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