Problema nº 2 de teorema de Stokes en una superficie
Enunciado del ejercicio nº 2
Verificar el teorema de Stokes si F = (x, y, z) y S es la superficie x² + y² = 1, z = 0, z = x + 3.
Desarrollo
Fórmulas:
dC = C'(t)·dt
dS = (Xᵤ ∧ Xᵥ)·du·dv
Solución
Gráfico del dominio para el cálculo de la superficie
Parametrizamos la superficie S:
x = cos θ
y = sen θ
z = z
0 ≤ z ≤ cos θ + 3
0 ≤ θ ≤ 2·π
X(θ, z) = (cos θ, sen θ, z)
Calculamos n:
Xθ = (-sen θ, cos θ,0)
Xz = (0, 0, 1)
n = (cos θ, sen θ, 0)
En el punto (1, 0, 0) ⟶ θ = 0 ⇒ n = (1, 0, 0) por lo que se trata de la página exterior.
Hallamos el rotF:
rot F = (1 - 0, -0 + 1, 1 - 0) = (1, 1, 1)
Planteamos la integral del segundo miembro:
= ½·2·π + ½·sen 2·π·cos 2·π + ½·sen² 2·π + 3·sen 2·π + 3·(-cos 2·π) - [½·0 + ½·sen 0·cos 0 + ½·sen² 0 + 3·sen 0 + 3·(-cos 0)] = (π + 3·(-1)) - (3·(-1)) = π - 3 + 3 = π
Para el primer miembro parametrizamos la frontera de S, es decir ∂S que se compone de dos curvas:
C₁(t) = (cos t, sen t, 0)
C₂(t) = (cos t, sen t, cos t + 3)
0 ≤ t ≤ 2·π
Preparamos las partes de la integral:
C₁'(t) = (-sen t, cos t, 0)
C₂'(t) = (-sen t, cos t, -sen t)
F(C₁(t)) = (0, cos t, sen t)
F(C₂(t)) = (cos t + 3, cos t, sen t)
Planteamos la integral del primer miembro:
= ½·sen² 2·π - 3·cos 2·π + ½·2·π - ½·sen 2·π·cos 2·π - (½·sen² 0 - 3·cos 0 + ½·0 - ½·sen 0·cos 0) = ½·0 - 3·1 + π - ½·0·1 - (½·0 - 3·1 + ½·0 - ½·0·1) = -3 + π - (- 3)
Se verifica:
∎
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo verificar el teorema de Stokes en una superficie