Problema n° 2 de integrales.

Problema n° 2) Verificar el teorema de Stokes si F = (x,y,z) y S es la superficie x² + y² = 1, z = 0, z = x + 3.

Parametrizamos la superficie S:

x = cos θ

y = sen θ

z = z

0 ≤ z ≤ cos θ + 3
0 ≤ θ ≤ 2·π

X(θ,z) = (cos θ, sen θ, z)

Calculamos n:

X_θ = (-sen θ, cos θ,0)

X_z = (0,0,1)

n = (cos θ, sen θ, 0)

En el punto (1, 0, 0) → θ = 0 ⇒ n = (1, 0, 0) por lo que se trata de la página exterior.

Hallamos el rotF:

rot F = (1 - 0,-0 + 1,1 - 0) = (1,1,1)

Planteamos la integral del segundo miembro:

∫∫_S rot F·dS = ∫∫_D (1,1,1)·(cos θ, sen θ,0)·dθ·dz = ∫∫_D (cos θ + sen θ)·dθ·dz

= (π + 3·(-1)) - (3·(-1)) = π - 3 + 3 = π

∫∫_D rotF·dS = π

Para el primer miembro parametrizamos la frontera de S, es decir ∂S que se compone de dos curvas:

C₁(t) = (cos t, sen t,0)

C₂(t) = (cos t, sen t, cos t + 3)

0 ≤ t ≤ 2·π

Preparamos las partes de la integral:

C₁´(t) = (-sen t, cos t,0)

C₂´(t) = (-sen t, cos t,-sen t)

F(C₁(t)) = (0, cos t, sen t)

F(C₂(t)) = (cos t + 3, cos t, sen t)

Planteamos la integral del primer miembro:

∫_∂S F·dC = π

Se verifica:

∫_∂S F·dC = ∫∫_S rotF·dS = π

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