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Solución del ejercicio n° 2 de teorema de Stokes. Campos centrales. Integrales sobre superficies. Problema resuelto. Ejemplo, cómo verificar el teorema de Stokes en una superficie
Problema n° 2 de integrales
Problema n° 2
Verificar el teorema de Stokes si F = (x, y, z) y S es la superficie x² + y² = 1, z = 0, z = x + 3.
Desarrollo
Fórmulas:
∫∂S F·dC = ∬S rot F·dS
dC = C'(t)·dt
dS = (Xu ∧ Xv)·du·dv
rot F = | E1 | -E2 | E3 |
∂/∂x | ∂/∂y | ∂/∂z | |
ƒ1 | ƒ2 | ƒ3 |
Solución
Gráfico del dominio para el cálculo de la superficie
Parametrizamos la superficie S:
x = cos θ
y = sen θ
z = z
0 ≤ z ≤ cos θ + 3
0 ≤ θ ≤ 2·π
X(θ, z) = (cos θ, sen θ, z)
Calculamos n:
Xθ = (-sen θ, cos θ,0)
Xz = (0, 0, 1)
n = | E1 | -E2 | E3 |
0 | 0 | 0 | |
0 | 0 | 1 |
n = (cos θ, sen θ, 0)
En el punto (1, 0, 0) → θ = 0 ⇒ n = (1, 0, 0) por lo que se trata de la página exterior.
Hallamos el rotF:
rot F = | E1 | -E2 | E3 |
∂/∂x | ∂/∂y | ∂/∂z | |
x | y | z |
rot F = (1 - 0, -0 + 1, 1 - 0) = (1, 1, 1)
Planteamos la integral del segundo miembro:
∬S rot F·dS = ∬D (1, 1, 1)·(cos θ, sen θ,0)·dθ·dz = ∬D (cos θ + sen θ)·dθ·dz
= (π + 3·(-1)) - (3·(-1)) = π - 3 + 3 = π
∬D rotF·dS = π
Para el primer miembro parametrizamos la frontera de S, es decir ∂S que se compone de dos curvas:
C1(t) = (cos t, sen t, 0)
C2(t) = (cos t, sen t, cos t + 3)
0 ≤ t ≤ 2·π
Preparamos las partes de la integral:
C1'(t) = (-sen t, cos t, 0)
C2'(t) = (-sen t, cos t, -sen t)
F(C1(t)) = (0, cos t, sen t)
F(C2(t)) = (cos t + 3, cos t, sen t)
Planteamos la integral del primer miembro:
∫∂S F·dC = π
Se verifica:
∫∂S F·dC = ∬S rotF·dS = π
Verificado
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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