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Solución del ejercicio n° 2 de teorema de Stokes. Campos centrales. Integrales sobre superficies. Problema resuelto. Ejemplo, cómo verificar el teorema de Stokes en una superficie

Problema n° 2 de integrales

Problema n° 2

Verificar el teorema de Stokes si F = (x, y, z) y S es la superficie x² + y² = 1, z = 0, z = x + 3.

Desarrollo

Fórmulas:

∫_∂S F·dC = ∬_S rot F·dS

dC = C'(t)·dt

dS = (X_u ∧ X_v)·du·dv

Solución

Gráfico del dominio para el cálculo de la superficie

Parametrizamos la superficie S:

x = cos θ

y = sen θ

z = z

0 ≤ z ≤ cos θ + 3

0 ≤ θ ≤ 2·π

X(θ, z) = (cos θ, sen θ, z)

Calculamos n:

X_θ = (-sen θ, cos θ,0)

X_z = (0, 0, 1)

n = (cos θ, sen θ, 0)

En el punto (1, 0, 0) → θ = 0 ⇒ n = (1, 0, 0) por lo que se trata de la página exterior.

Hallamos el rotF:

rot F = (1 - 0, -0 + 1, 1 - 0) = (1, 1, 1)

Planteamos la integral del segundo miembro:

∬_S rot F·dS = ∬_D (1, 1, 1)·(cos θ, sen θ,0)·dθ·dz = ∬_D (cos θ + sen θ)·dθ·dz

= (π + 3·(-1)) - (3·(-1)) = π - 3 + 3 = π

∬_D rotF·dS = π

Para el primer miembro parametrizamos la frontera de S, es decir ∂S que se compone de dos curvas:

C₁(t) = (cos t, sen t, 0)

C₂(t) = (cos t, sen t, cos t + 3)

0 ≤ t ≤ 2·π

Preparamos las partes de la integral:

C₁'(t) = (-sen t, cos t, 0)

C₂'(t) = (-sen t, cos t, -sen t)

F(C₁(t)) = (0, cos t, sen t)

F(C₂(t)) = (cos t + 3, cos t, sen t)

Planteamos la integral del primer miembro:

∫_∂S F·dC = π

Se verifica:

∫_∂S F·dC = ∬_S rotF·dS = π

Verificado

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