Problema n° 3 de teorema de Stokes en una superficie - TP10

Enunciado del ejercicio n° 3

Verificar el teorema de Stokes si F = (x, y, z) y S es la superficie x² + y² = 1, z ≥ 0.

Desarrollo

Fórmulas:

∫_∂S F·dC = ∬_S rot F·dS

dC = C'(t)·dt

dS = (Xᵤ ∧ Xᵥ)·du·dv

Solución

Gráfico del dominio para el cálculo de la superficie

Parametrizamos la superficie S:

X(u, v) = (u, v, 0), u² + v² ≤ 1

Calculamos n:

Xᵤ = (1, 0, 0)

Xᵥ = (0, 1, 0)

n apunta hacia z > 0.

Hallamos el rot F:

rot F = (1 - 0, -0 + 1, 1 - 0)

rot F = (1, 1, 1)

Planteamos la integral del segundo miembro:

∬_SC rot F·dS = ∬_S1 rot F·dS

∬_SC rot F·dS = ∬_D (1, 1, 1)·(0, 0, 1)·du·dv

∬_SC rot F·dS = ∬_D du·dv

Pasando a sistema de coordenadas polares:

= 2·π·(½·1² - ½·0²) =

= 2·π·½ = π

Para el primer miembro parametrizamos la frontera de S, es decir ∂S:

C = (cos t, sen t, 0), 0 ≤ t ≤ 2·π

Preparamos las partes de la integral:

C' = (-sen t, cos t, 0)

F(C(t)) = (0, cos t, sen t)

Planteamos la integral del primer miembro:

∫_∂S F·dC = π

Verificado

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo, cómo verificar el teorema de Stokes en una superficie