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Problema n° 3 de integrales TP10

Integrales: Solución del ejercicio n° 3 de teorema de Stokes. Campos centrales. Integrales sobre superficies. Problema resuelto. Ejemplo, cómo verificar el teorema de Stokes en una superficie

Problema n° 3 de integrales

Problema n° 3

Verificar el teorema de Stokes si F = (x, y, z) y S es la superficie x² + y² = 1, z ≥ 0.

Desarrollo

Fórmulas:

∂S F·dC = S rot F·dS

dC = C'(t)·dt

dS = (Xu ∧ Xv)·du·dv

rot F =

E1

-E2

E3

∂/∂x

∂/∂y

∂/∂z

ƒ1

ƒ2

ƒ3

Solución


Gráfico del dominio para el cálculo de la superficie

Parametrizamos la superficie S:

X(u, v) = (u, v, 0), u² + v² ≤ 1

Calculamos n:

Xu = (1, 0, 0)

Xv = (0, 1, 0)

n = Xu ∧ Xv =

E1

-E2

E3

1

0

0

0

1

0

n apunta hacia z > 0.

Hallamos el rot F:

rot F =

E1

-E2

E3

∂/∂x

∂/∂y

∂/∂z

x

y

z

rot F = (∂y/∂y - ∂x/∂z, -∂y/∂x + ∂z/∂z, ∂x/∂x + ∂z/∂y) = (1 - 0, -0 + 1, 1 - 0)

rot F = (1, 1, 1)

Planteamos la integral del segundo miembro:

SC rot F·dS = S1 rot F·dS = D (1, 1, 1)·(0, 0, 1)·du·dv = D du·dv

Pasando a sistema de coordenadas polares:

u = r·cos θ

v = r·sen θ

→ |J| = r →

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2·π

Cálculo del rotor

Para el primer miembro parametrizamos la frontera de S, es decir ∂S:

C = (cos t, sen t, 0), 0 ≤ t ≤ 2·π

Preparamos las partes de la integral:

C' = (-sen t, cos t, 0)

F(C(t)) = (0, cos t, sen t)

Planteamos la integral del primer miembro:

Resolución de la integral

= 2·π/2 = π

Verificado

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