Ejemplo, cómo hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a una superficie

Problema n° 1 de integrales - TP11

Enunciado del ejercicio n° 1

Escribir la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie:

x = u + v

y = 1/u

z = u·v

En correspondencia a u = 1 y v = 0.

Plano tangente: Z·(X_u·X_v) = X₀·(X_u·X_v)

Recta normal: Z = X₀ + t·(X_u·X_v)

La ecuación es:

X = (u + v, 1/u, u·v)

Sus derivadas son:

X_u = (1, -1/u², v)

X_v = (1, 0, u)

En el punto son:

X_u|_(1,0) = (1, -1, 0)

X_v|_(1,0) = (1, 0, 1)

X|_(1,0) = X₀ = (1 + 0, 1/1, 1·0)

X₀ = (1, 1, 0)

El producto vectorial es:

X_u·X_v = [-1 - 0, -(1 - 0), 0 - (-1)]

X_u·X_v = (-1, -1, 1)

Plano tangente:

Z·(X_u·X_v) = X₀·(X_u·X_v)

(x, y, z)·(-1, -1, 1) = (1, 1, 0)·(-1, -1, 1)

-x - y + z = -1 - 1 ⇒ - x - y + z = -2

x + y - z = 2

Recta Normal:

Z = X₀ + t·(X_u·X_v)

(x, y, z) = (1, 1, 0) + t·(-1, -1, 1)

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.