Guía de ejercicios de teoremas integrales.

Resolver los siguientes ejercicios:

Fórmulas aplicables:

Plano tangente: Z·(X_u·X_v) = X₀·(X_u·X_v)

Recta normal: Z = X₀ + t·(X_u·X_v)

Problema n° 1) Escribir la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie:

x = u + v
y = 1/u
z = u·v

en correspondencia a u = 1 y v = 0.

Ver solución del problema n° 1

Problema n° 2) Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie:

X(u, v) = (u·v,1/v,log (u + v))

en correspondencia a u = 0 y v = 1.

Ver solución del problema n° 2

Problema n° 3) Escribir la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie:

X(u, v) = (2·v·cos u, v·sen u, v²)

en correspondencia a (u, v) = (π/4,1).

Ver solución del problema n° 3

Problema n° 4) Escribir la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie:

X(u, v) = (e^v·cos u, e^v·sen u, v)

en el punto correspondiente a (u₀, v₀) = (π/2,1).

Ver solución del problema n° 4

Problema n° 5) Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie:

X(u, v) = (u² - 1, u·v, v + 2)

en el punto (0, 2, 0), siempre y cuando el problema esté bien puesto.

Ver solución del problema n° 5

Problema n° 6) Escribir la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie:

X(u, v) = (2·cos u·cos v, 2·(sen u)·(cos v), sen v)

en el punto correspondiente a (u₀, v₀) = (π, π/4).

Problema n° 7) Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie:

X(u, v) = (u^v, 2·u·v, u + v)

en el punto (1, -2, 0).

Problema n° 8) Escribir la ecuación de la recta normal a la superficie:

X(u, v) = (u² - v², u + v, 2·u)

en el punto (0, 2, 2).

Problema n° 9) Escribir la ecuación de la recta normal a la superficie:

X(u, v) = (u^v, u + v, v - 2·u)

en el punto (1, 1, -2).

Problema n° 10) Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie:

X(u, v) = (u·sen v, u·cos v, v + 2·u)

en el punto (0, -π, π).