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Ejemplo, cómo hallar la ecuación cartesiana del plano tangente a una superficie

Problema n° 5 de integrales

Enunciado del ejercicio n° 5

Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie:

X(u, v) = (u² - 1, u·v, v + 2)

En el punto (0, 2, 0), siempre y cuando el problema esté bien puesto.

Desarrollo

Fórmulas:

Plano tangente: Z·(Xu·Xv) = X0·(Xu·Xv)

Recta normal: Z = X0 + t·(Xu·Xv)

Solución

u² - 1 = 0 ⇒ u² = 1 ⇒ u = ±1

u·v = 2 ⇒ u·(-2) = 2 ⇒ u = -1

v + 2 = 0 ⇒ v = -2

(u, v) = (-1, -2)

Sus derivadas son:

Xu = (2·u, v, 0)

Xv = (0, u, 1)

En el punto son:

Xu|(-1, -2) = (-2, -2, 0)

Xv|(-1, -2) = (0, -1, 1)

X(-1, -2) = (0, 2, 0)

El producto vectorial es:

Xu·Xv = (-2, -2, 0)·(0, -1, 1) =E1-E2E3
-2-20
0-11

Xu·Xv = (-2, 2, 2)

Plano tangente:

Z·(Xu·Xv) = X0·(Xu·Xv)

(x, y, z)·(-2, 2, 2) = (0, 2, 0)·(-2, 2, 2)

-2·x + 2·y + 2·z = 4

-x + y + z = 2

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