Ejemplo, cómo hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a una superficie
Problema n° 4 de integrales - TP11
Enunciado del ejercicio n° 4
Escribir la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie:
X(u, v) = (ev·cos u, ev·sen u, v)
En el punto correspondiente a (u0, v0) = (π/2, 1).
Desarrollo
Fórmulas:
Plano tangente: Z·(Xu·Xv) = X0·(Xu·Xv)
Recta normal: Z = X0 + t·(Xu·Xv)
Solución
Sus derivadas son:
Xu = (-ev·sen u, ev·cos u, 0)
Xv = (ev·cos u, ev·sen u, 1)
En el punto son:
Xu(π/2, 1) = (-e·sen π/2, e·cos π/2, 0)
Xu(π/2, 1) = (-e, 0, 0)
Xv(π/2, 1) = (e·cos π/2, e·sen π/2, 1)
Xv(π/2, 1) = (0, e, 1)
X(π/2, 1) = (e·cos π/2, e·sen π/2, 1)
X(π/2, 1) = (0, e, 1)
El producto vectorial es:
Xu·Xv = (-e, 0, 0)·(0, e, 1) = | E1 | -E2 | E3 |
-e | 0 | 0 | |
0 | e | 1 |
Xu·Xv = (0, e, -e²)
Plano tangente:
Z·(Xu·Xv) = X0·(Xu·Xv)
(x, y, z)·(0, e, -e²) = (0, e, 1)·(0, e, -e²)
e·y - e²·z = e² - e²
y - e·z = 0
Recta Normal:
Z = X0 + t·(Xu·Xv)
(x, y, z) = (0, e, 1) + t·(0, e, -e²)
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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