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Solución del ejercicio n° 4 de ecuación del plano tangente y de la recta normal a una superficie. Problema resuelto. Ejemplo, cómo hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a una superficie

Problema n° 4 de integrales

Problema n° 4

Escribir la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie:

X(u, v) = (ev·cos u, ev·sen u, v)

En el punto correspondiente a (u0, v0) = (π/2, 1).

Desarrollo

Fórmulas:

Plano tangente: Z·(Xu·Xv) = X0·(Xu·Xv)

Recta normal: Z = X0 + t·(Xu·Xv)

Solución

Sus derivadas son:

Cálculo de las derivadas de la superficie

En el punto son:

Cálculo de las derivadas de la superficie en el punto dado

El producto vectorial es:

Xu·Xv = (-e, 0, 0)·(0, e, 1) =E1-E2E3
-e00
0e1

Xu·Xv = (0, e, -e²)

Plano tangente:

Z·(Xu·Xv) = X0·(Xu·Xv) ⇒ (x, y, z)·(0, e, -e²) = (0, e, 1)·(0, e, -e²)

e·y - e²·z = e² - e²

y - e·z = 0

Recta Normal:

Z = X0 + t·(Xu·Xv)

(x, y, z) = (0, e, 1) + t·(0, e, -e²)

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