Regla de L'Hopital

Límites indeterminados

El teorema de Cauchy permite en muchos casos calcular en forma sencilla el límite de un cociente de dos funciones en el caso de que ambas funciones tiendan a cero cuando x tiende a un valor dado. En otras palabras, se podrá salvar la indeterminación del tipo 0/0.

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas y derivables que se anulan en el punto x = a. Puesto que f(a) = g(a) = 0, se podrá escribir, entonces:

Aplicando al segundo miembro el teorema de Cauchy resulta:

Con a < γ < x

Si hacemos tender x hacia a, γ también tenderá hacia a; se tiene pues:

Si es g'(a) ≠ 0, el cociente de las derivadas en x = a tiene sentido y el límite buscado será igual a ese cociente. Esta relación constituye la regla de L'Hopital.

Si en cociente de las derivadas resulta del tipo 0/0, se aplica reiteradamente la regla de L'Hopital, calculando sucesivamente el cociente de las derivadas segunda, tercera, etc. en x = a.

Ejemplo nº 1:

Calcular:

Aplicando la regla es:

Resultado ya conocido.

Ejemplo nº 2:

Calcular:

Aplicando la regla es:

Sigue siendo un límite indeterminado del tipo 0/0.

Aplcamos nuevamente la regla obteniendo la derivada segunda de cada función:

Aplcamos nuevamente la regla obteniendo la derivada tercera de cada función:

Regla de L'Hopital para el caso de cocientes donde x ⟶ ∞

Si en lugar de tender x hacia a (finito), x ⟶ ∞, la regla de L'Hoptal subsiste, aunque hay que modificar la demostración. En este caso habrá que hacer la sustitución x = 1/z; cuando x ⟶ ∞, z ⟶ 0. Entonces la regla se aplica y, eliminando el factor común -1/z² que aparece por la derivación, resulta:

Resumiendo

• Para límites indeterminados del tipo 0/0 (o ∞/∞) se aplica la regla de L'Hopital.
• Se deriva tantas veces como sea necesario hasta que deje de ser del tipo 0/0 o igual a ∞.

• Fuente:

"Elementos de cálculo diferencial e integral". Sadosky-Guber. Argentina.

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina