Límites indeterminados

El teorema de Cauchy permite en muchos casos calcular en forma sencilla el límite de un cociente de dos funciones en el caso de que ambas funciones tiendan a cero cuando x tiende a un valor dado. En otras palabras, se podrá salvar la indeterminación del tipo 0/0.

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas y derivables que se anulan en el punto x = a. Puesto que f(a) = g(a) = 0, se podrá escribir, entonces:

Aplicando al segundo miembro el teorema de Cauchy resulta:

Con a < γ < x

Si hacemos tender x hacia a, γ también tenderá hacia a; se tiene pues:

Si es g'(a) ≠ 0, el cociente de las derivadas en x = a tiene sentido y el límite buscado será igual a ese cociente. Esta relación constituye la regla de L'Hopital.

Si en cociente de las derivadas resulta del tipo 0/0, se aplica reiteradamente la regla de L'Hopital, calculando sucesivamente el cociente de las derivadas segunda, tercera, etc. en x = a.

Ejemplo nº 1:

Calcular:

Aplicando la regla es:

Resultado ya conocido.

Ejemplo nº 2:

Calcular:

Aplicando la regla es:

Sigue siendo un límite indeterminado del tipo 0/0.

Aplcamos nuevamente la regla obteniendo la derivada segunda de cada función:

Aplcamos nuevamente la regla obteniendo la derivada tercera de cada función:

Regla de L'Hopital para el caso de cocientes donde x ⟶ ∞

Si en lugar de tender x hacia a (finito), x ⟶ ∞, la regla de L'Hoptal subsiste, aunque hay que modificar la demostración. En este caso habrá que hacer la sustitución x = 1/z; cuando x ⟶ ∞, z ⟶ 0. Entonces la regla se aplica y, eliminando el factor común -1/z² que aparece por la derivación, resulta:

Resumiendo

• Para límites indeterminados del tipo 0/0 (o ∞/∞) se aplica la regla de L'Hopital.
• Se deriva tantas veces como sea necesario hasta que deje de ser del tipo 0/0 o igual a ∞.

• Fuente:

"Elementos de cálculo diferencial e integral". Sadosky-Guber. Argentina.

Autor: . Argentina