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Ejemplo, resolver igualdades con números complejos

Problema n° 2-c de números complejos o imaginarios

Enunciado del ejercicio n° 2-c

Calcular "x" e "y" de modo que se satisfaga la siguiente igualdad:

2·x+3·y+ (-x+7·y)·i = 5 + 6·i
abab

Solución

Para que se cumpla la igualdad solicitada se debe cumplir que las componentes reales sean iguales y, separadamente, que las componentes imaginarias cumplan la igualdad.

2·x+3·y+ (-x+7·y)·i = 5 + 6·i
abab

Igualamos componente a componente.

Parte real:

2·x+3·y= 5
ab

Parte imaginaria:

(-x+7·y)·i = 6·i
ab

Quedan dos ecuaciones con dos incógnitas, "a" y "b" son números reales.

Resolvemos:

2·x+3·y= 5
ab
b·2·x + a·3·y= 5
a·b

2·b·x + 3·a·y = 5·a·b (igualdad de la parte real)

(-x+7·y)·i = 6·i
ab
-x+7·y= 6
ab
-a·x + 7·b·y= 6
a·b

-a·x + 7·b·y = 6·a·b (igualdad de la parte imaginaria)

El sistema de 2x2 es:

2·b·x + 3·a·y = 5·a·b
-a·x + 7·b·y = 6·a·b

Despejamos x en ambas ecuaciones y resolvemos por el método de igualación:

2·b·x + 3·a·y = 5·a·b

2·b·x = -3·a·y + 5·a·b

x =-3·a·y + 5·a·b(1)
2·b

-a·x + 7·b·y = 6·a·b

-a·x = -7·b·y + 6·a·b

x =-7·b·y + 6·a·b(2)
-a

Igualamos (1) y (2):

-3·a·y + 5·a·b=-7·b·y + 6·a·b
2·b-a

-a·(-3·a·y + 5·a·b) = 2·b·(-7·b·y + 6·a·b)

-a·(-3·a·y) - a·5·a·b = 2·b·(-7·b·y) + 2·b·6·a·b

a·3·a·y - a·5·a·b = -2·b·7·b·y + 2·b·6·a·b

3·a²·y - 5·a²·b = -14·b²·y + 12·a·b²

3·a²·y + 14·b²·y = 12·a·b² + 5·a²·b

(3·a² + 14·b²)·y = 12·a·b² + 5·a²·b

Despejamos "y":

y =12·a·b² + 5·a²·b
3·a² + 14·b²

Reemplazamos en (1):

 -3·a·12·a·b² + 5·a²·b+ 5·a·b
x =3·a² + 14·b²
2·b
 -3·a·(12·a·b² + 5·a²·b) + 5·a·b·(3·a² + 14·b²)
x =3·a² + 14·b²
2·b
x =-3·a·(12·a·b² + 5·a²·b) + 5·a·b·(3·a² + 14·b²)
2·b·(3·a² + 14·b²)
x =-36·a²·b² - 15·a³·b + 15·a³·b + 70·a·b³
2·b·(3·a² + 14·b²)
x =-36·a²·b² + 70·a·b³
2·b·(3·a² + 14·b²)
x =2·a·b²·(-18·a + 35·b)
2·b·(3·a² + 14·b²)
x =a·b·(-18·a + 35·b)
3·a² + 14·b²

Resultado, los valores de "x" e "y" que satisfacen la igualdad son:

x =a·b·(-18·a + 35·b)
3·a² + 14·b²
y =a·b·(12·b + 5·a)
3·a² + 14·b²

Verificar.

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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