Problema n° 2-c de números complejos o imaginarios - TP02
Enunciado del ejercicio n° 2-c
Calcular "x" e "y" de modo que se satisfaga la siguiente igualdad:
| 2·x | + | 3·y | + ( | -x | + | 7·y | )·i = 5 + 6·i |
| a | b | a | b |
Solución
Para que se cumpla la igualdad solicitada se debe cumplir que las componentes reales sean iguales y, separadamente, que las componentes imaginarias cumplan la igualdad.
| 2·x | + | 3·y | + ( | -x | + | 7·y | )·i = 5 + 6·i |
| a | b | a | b |
Igualamos componente a componente.
Parte real:
| 2·x | + | 3·y | = 5 |
| a | b |
Parte imaginaria:
| ( | -x | + | 7·y | )·i = 6·i |
| a | b |
Quedan dos ecuaciones con dos incógnitas, "a" y "b" son números reales.
Resolvemos:
| 2·x | + | 3·y | = 5 |
| a | b |
| b·2·x + a·3·y | = 5 |
| a·b |
2·b·x + 3·a·y = 5·a·b (igualdad de la parte real)
| ( | -x | + | 7·y | )·i = 6·i |
| a | b |
| -x | + | 7·y | = 6 |
| a | b |
| -a·x + 7·b·y | = 6 |
| a·b |
-a·x + 7·b·y = 6·a·b (igualdad de la parte imaginaria)
El sistema de 2x2 es:
2·b·x + 3·a·y = 5·a·b
-a·x + 7·b·y = 6·a·b
Despejamos x en ambas ecuaciones y resolvemos por el método de igualación:
2·b·x + 3·a·y = 5·a·b
2·b·x = -3·a·y + 5·a·b
| x = | -3·a·y + 5·a·b | (1) |
| 2·b |
-a·x + 7·b·y = 6·a·b
-a·x = -7·b·y + 6·a·b
| x = | -7·b·y + 6·a·b | (2) |
| -a |
Igualamos (1) y (2):
| -3·a·y + 5·a·b | = | -7·b·y + 6·a·b |
| 2·b | -a |
-a·(-3·a·y + 5·a·b) = 2·b·(-7·b·y + 6·a·b)
-a·(-3·a·y) - a·5·a·b = 2·b·(-7·b·y) + 2·b·6·a·b
a·3·a·y - a·5·a·b = -2·b·7·b·y + 2·b·6·a·b
3·a²·y - 5·a²·b = -14·b²·y + 12·a·b²
3·a²·y + 14·b²·y = 12·a·b² + 5·a²·b
(3·a² + 14·b²)·y = 12·a·b² + 5·a²·b
Despejamos "y":
| y = | 12·a·b² + 5·a²·b |
| 3·a² + 14·b² |
Reemplazamos en (1):
| -3·a· | 12·a·b² + 5·a²·b | + 5·a·b | |
| x = | 3·a² + 14·b² | ||
| 2·b | |||
| -3·a·(12·a·b² + 5·a²·b) + 5·a·b·(3·a² + 14·b²) | |
| x = | 3·a² + 14·b² |
| 2·b |
| x = | -3·a·(12·a·b² + 5·a²·b) + 5·a·b·(3·a² + 14·b²) |
| 2·b·(3·a² + 14·b²) |
| x = | -36·a²·b² - 15·a³·b + 15·a³·b + 70·a·b³ |
| 2·b·(3·a² + 14·b²) |
| x = | -36·a²·b² + 70·a·b³ |
| 2·b·(3·a² + 14·b²) |
| x = | 2·a·b²·(-18·a + 35·b) |
| 2·b·(3·a² + 14·b²) |
| x = | a·b·(-18·a + 35·b) |
| 3·a² + 14·b² |
Resultado, los valores de "x" e "y" que satisfacen la igualdad son:
| x = | a·b·(-18·a + 35·b) |
| 3·a² + 14·b² |
| y = | a·b·(12·b + 5·a) |
| 3·a² + 14·b² |
Verificar.
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, resolver igualdades con números complejos