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Ejemplo, como hallar números complejos

Problema n° 5 de números complejos o imaginarios

Enunciado del ejercicio n° 5

Efectuar las siguientes operaciones:

a) (2+ i) + (4-3·i) + (2+i) + (-28-3·i) =
334154152

b) (2 - 3·i)·(2 + 3·i)·(1 + 6·i) =

c) (5;5)÷(2;1) =
2352

d) (2·3; 4)² =

e) i2.510 =

f) i-315 =

Solución

a)

a) (2+ i) + (4-3·i) + (2+i) + (-28-3·i) =
334154152

Retiramos los paréntesis y agrupamos las componentes reales separadamente de las imaginarias:

=2+4+2+-28+ i -3·i+i-3·i=
331515442
=2+4+2-28+ (1-3+1-3)·i =
3315151442

Sumamos las fracciones reales e imaginarias por separado.

El denominador común de la parte real es "15" y el de la parte imaginaria es "4":

=2·5 + 4·5 + 2 - 28+ (1·4 - 3 + 1 - 3·2)·i =
154
=10 + 20 + 2 - 28+ (4 - 3 + 1 - 6)·i =
154
=4+ (-4)·i =
154
=4+ (-1)·i =
151
=4- i
15

b)

(2 - 3·i)·(2 + 3·i)·(1 + 6·i) =

El primer producto es una diferencia de cuadrados, resolvemos:

= [(2)² - (3·i)²]·(1 + 6·i) =

= (2 - 3·i²)·(1 + 6·i) =

Como i² = -1:

= [2 - 3·(-1)]·(1 + 6·i) =

= (2 + 3)·(1 + 6·i) =

= 5·(1 + 6·i) =

Aplicamos distributiva del producto respecto a la suma:

= 5·1 + 5·6·i =

= 5 + 5·6·i

c)

(5;5)÷(2;1) =
2352

Este caso viene dado en forma vectorial o par ordenado.

Dividimos componente a componente:

= (5÷2;5÷1) =
2532

Invertimos las fracciones que dividen, queda expresado como producto:

= (5·5;5·2) =
2231

Resolvemos:

= (25;10)
43

d)

(2·3; 4)² =

Este caso viene dado en forma vectorial o par ordenado.

Dividimos componente a componente:

= [(2·3)²; 4²] =

= (4·3; 16) =

= (12; 16)

e)

i2.510 =

Según las propiedades del exponente:

in = i4·c + r = i4·c·ir = (i4)c·ir = (1)c·ir = 1·ir = ir

n = 4·c + r

2.510 = 627·4 + 2

= i627·4 + 2 = (i4)627·i² = (i4)627·i²

Como i4 = 1:

= (1)627·i² =

Como i² = -1:

= 1·(-1) =

i2.510 = -1

f)

i-315 =1
i315

Según las propiedades del exponente:

in = i4·c + r = i4·c·ir = (i4)c·ir = (1)c·ir = 1·ir = ir

n = 4·c + r

315 = 78·4 + 3

i-315 =1
i(78·4 + 3)
i-315 =1
i78·4·i³
i-315 =1
(i4)78·i³

Como i4 = 1:

i-315 =1
178·i³

Como i³ = -i:

i-315 =1
1·(-i)
i-315 =1
-i

Multiplicamos y dividimos por "i":

i-315 =1·i
-i·i
i-315 =i
-i²

Como i² = -1:

i-315 =i
-(-1)
i-315 =i
1

i-315 = i

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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