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Ejemplo de operaciones con números complejos

Problema n° 6 de números complejos o imaginarios

Enunciado del ejercicio n° 6

Dados los números complejos:

u = 3 + i

v = -3 + 3·i

w = 2 - 2·3·i

Efectuar:

2·u - (v² - u) -v
w

Solución

z = 2·u - (v² - u) -v
w

Reemplazamos por los complejos dados:

z = 2·(3 + i) - [(-3 + 3·i)² - (3 + i)] --3 + 3·i
2 - 2·3·i

En el primer término aplicamos distributiva del producto respecto a la suma:

z = 2·2·3 + 2·i - [(-3 + 3·i)² - (3 + i)] --3 + 3·i
2 - 2·3·i

En el segundo término tenemos un binomio al cuadrado, resolvemos:

z = 4·3 + 2·i - [(-3)² + 2·(-3)·3·i + (3·i)² - (3 + i)] --3 + 3·i
2 - 2·3·i
z = 4·3 + 2·i - [3 - 6·3·i + 9·i² - (3 + i)] --3 + 3·i
2 - 2·3·i

Como i² = -1:

z = 4·3 + 2·i - [3 - 6·3·i + 9·(-1) - (3 + i)] --3 + 3·i
2 - 2·3·i

Aunque no se detalle en cada paso a medida que resolvemos el ejercicio vamos efectuando las operaciones obvias como, por ejemplo: retirar paréntesis, simplificaciones, sumas, restas y multiplicaciones.

z = 4·3 + 2·i - (3 - 6·3·i - 9 - 3 - i) --3 + 3·i
2 - 2·3·i

Racionalizamos el denominador del último término:

z = 4·3 + 2·i - 3 + 6·3·i + 9 + 3 + i -(-3 + 3·i)·(2 + 2·3·i)
(2 - 2·3·i)·(2 + 2·3·i)
z = 5·3 + 3·i + 6·3·i + 6 -(-3)·2 + (-3)·2·3·i + 3·i·2 + 3·i·2·3·i
2² - (2·3·i)²
z = 6 + 5·3 + 3·i + 6·3·i --2·3 - 2·(3)²·i + 6·i + 6·3·i²
4 - 4·3·i²
z = 6 + 5·3 + 3·i + 6·3·i --2·3 - 2·3·i + 6·i + 6·3·(-1)
4 - 12·(-1)
z = 6 + 5·3 + 3·i + 6·3·i --2·3 - 6·i + 6·i - 6·3
4 + 12
z = 6 + 5·3 + 3·i + 6·3·i --8·3
16
z = 6 + 5·3 + 3·i + 6·3·i +3
2
z = 6 + 5·3 +3+ 3·i + 6·3·i
2
z = 12 + 11·3+ 3·i + 6·3·i
2

Resultado, el nuevo complejo es:

z = 12 + 11·3+ 3·(1 + 2·3)·i
2

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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