Ejemplo de suma, resta, potenciación y radicación con números reales
Problema n° 5 de operaciones con números reales - TP10
Resolver los siguientes ejercicios
Problema n° 5
Calcular:
a)
8⅓ = (2³)⅓ =
Potencia de potencia los exponentes se multiplican:
= 23·⅓ = 2¹
8⅓ = 2
b)
81-0,25 =
Expresamos el exponente como número fraccionario:
= 81-25/100 =
Expresamos la base como potencia y simplificamos el exponente:
= (34)-1/4 =
Potencia de potencia los exponentes se multiplican:
= 34·(-1/4) = 3-1
| 81-0,25 = | 1 |
| 3 |
c)
1250,33... =
Expresamos el exponente como número fraccionario:
= 1251/3 =
Expresamos la base como potencia:
= (5³)1/3 =
Potencia de potencia los exponentes se multiplican:
= 53·1/3 = 5¹
1250,33... = 5
d)
5·5⅓÷5⅙ =
Las bases son iguales, los exponentes se suman:
| 1 + | 1 | - | 1 | = | 6 + 2 - 1 | = | 7 |
| 3 | 6 | 6 | 6 |
= 57/6 = 6√57 = 6√5·56
Extraemos de la raíz 56:
= 5·6√5
5·5⅓÷5⅙ = 5·6√5
e)
| π½ + π-½ | = |
| π½ - π-½ |
Multiplicamos y dividimos por "π½ + π-½":
| = | π½ + π-½ | · | π½ + π-½ | = |
| π½ - π-½ | π½ + π-½ |
En el denominador tenemos una diferencia de cuadrados de igual base:
| = | (π½ + π-½)² | = |
| (π½)² - (π-½)² |
En el numerador desarrollamos el binomio al cuadrado, donde corresponda aplicamos potencia de potencia:
| = | (π½)² + 2·π½·π-½ + (π-½)² | = |
| π2·½ - π2·(-½) |
Donde las bases sean iguales los exponentes se suman:
| = | π2·½ + 2·π½ + (-½) + π2·(-½) | = |
| π¹ - π-1 |
| = | π¹ + 2·π½ - ½ + π-1 | = |
| π - π-1 |
| = | π + 2·π0 + π-1 | = | π + 2·1 + π-1 | = |
| π - π-1 | π - π-1 |
Invertimos las potencias con exponente negativo:
| = | π + 2 + | 1 | = |
| π | |||
| π - | 1 | ||
| π |
Sumamos las fracciones en el numerador y en el denominador:
| = | π·π + 2·π + 1 | = |
| π | ||
| π·π - 1 | ||
| π |
Simplificamos:
| = | π² + 2·π + 1 | = |
| π | ||
| π² - 1 | ||
| π |
| = | π² + 2·π + 1 | = |
| π² - 1 |
En el numerador hay un trinomio cuadrado perfecto y en el denominador hay una diferencia de cuadrados de igual base, factorizamos:
| = | (π + 1)² | = |
| (π - 1)·(π + 1) |
Simplificamos:
| = | (π + 1)2 | = | π + 1 |
| (π - 1)·(π + 1) | π - 1 |
| π½ + π-½ | = | π + 1 |
| π½ - π-½ | π - 1 |
f)
√½·a³·5·∛24·a-1 =
Expresamos las raíces como potencias:
= (½·a³)½·5·(24·a-1)⅓ =
Aplicamos distributiva a los exponentes principales:
= ½½·(a³)½·5·(24)⅓·(a-1)⅓ =
Efectuamos potencia de potencia:
= ½½·a3·½·5·24·⅓·a(-1)·⅓ = 2-½·a3/2·5·24/3·a-⅓ =
Donde las bases son iguales sumamos los exponentes:
= 2-1/2 + 4/3·a3/2 - 1/3·5 =
Para la potencia de base "2":
| - | 1 | + | 4 | = | -3 + 8 | = | 5 |
| 2 | 3 | 6 | 6 |
Para la potencia de base "a":
| 3 | - | 1 | = | 9 - 2 | = | 7 |
| 2 | 3 | 6 | 6 |
Queda:
= 25/6·a7/6·5 =
= 25/6·a1/6·a6/6·5 =
= 25/6·a1/6·a·5 =
Agrupamos:
= (25·a)1/6·5 =
Expresamos las potencias como raíces:
= 6√25·a·a·5
√½·a³·5·∛24·a-1 = 6√25·a·a·5
g)
=
Expresamos las raíces como potencias:
= 
=
Las bases son iguales, los exponentes se suman:
| 1 | + | 2 | - | 1 | = | 3 + 4 - 1 | = | 6 | = 1 |
| 2 | 3 | 6 | 6 | 6 |
= √a¹
= √a
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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