Problema n° 5 de operaciones con números reales - TP10

Resolver los siguientes ejercicios

Problema n° 5

Calcular:

8^⅓ = (2³)^⅓ =

Potencia de potencia los exponentes se multiplican:

= 2^3·⅓ = 2¹

8^⅓ = 2

81^-0,25 =

Expresamos el exponente como número fraccionario:

= 81^-25/100 =

Expresamos la base como potencia y simplificamos el exponente:

= (3⁴)^-1/4 =

Potencia de potencia los exponentes se multiplican:

= 3^4·(-1/4) = 3^-1

81^-0,25 =	1
	3

125^0,33... =

Expresamos el exponente como número fraccionario:

= 125^1/3 =

Expresamos la base como potencia:

= (5³)^1/3 =

Potencia de potencia los exponentes se multiplican:

= 5^3·1/3 = 5¹

125^0,33... = 5

5·5^⅓÷5^⅙ =

Las bases son iguales, los exponentes se suman:

1 +	1	-	1	=	6 + 2 - 1	=	7
	3		6		6		6

= 5^7/6 = ⁶√5⁷ = ⁶√5·5⁶

Extraemos de la raíz 5⁶:

= 5·⁶√5

5·5^⅓÷5^⅙ = 5·⁶√5

π^½ + π^-½	=
π^½ - π^-½

Multiplicamos y dividimos por "π^½ + π^-½":

=	π^½ + π^-½	·	π^½ + π^-½	=
	π^½ - π^-½		π^½ + π^-½

En el denominador tenemos una diferencia de cuadrados de igual base:

=	(π^½ + π^-½)²	=
	(π^½)² - (π^-½)²

En el numerador desarrollamos el binomio al cuadrado, donde corresponda aplicamos potencia de potencia:

=	(π^½)² + 2·π^½·π^-½ + (π^-½)²	=
	π^2·½ - π^2·(-½)

Donde las bases sean iguales los exponentes se suman:

=	π^2·½ + 2·π^{½ + (-½)} + π^2·(-½)	=
	π¹ - π^-1

=	π¹ + 2·π^{½ - ½} + π^-1	=
	π - π^-1

=	π + 2·π⁰ + π^-1	=	π + 2·1 + π^-1	=
	π - π^-1		π - π^-1

Invertimos las potencias con exponente negativo:

=	π + 2 +	1	=
		π
	π -	1
		π

Sumamos las fracciones en el numerador y en el denominador:

=	π·π + 2·π + 1	=
	π
	π·π - 1
	π

Simplificamos:

=	π² + 2·π + 1	=
	π
	π² - 1
	π

=	π² + 2·π + 1	=
	π² - 1

En el numerador hay un trinomio cuadrado perfecto y en el denominador hay una diferencia de cuadrados de igual base, factorizamos:

=	(π + 1)²	=
	(π - 1)·(π + 1)

Simplificamos:

=	(π + 1)²	=	π + 1
	(π - 1)·(π + 1)		π - 1

π^½ + π^-½	=	π + 1
π^½ - π^-½	=	π - 1

√½·a³·5·∛2⁴·a^-1 =

Expresamos las raíces como potencias:

= (½·a³)^½·5·(2⁴·a^-1)^⅓ =

Aplicamos distributiva a los exponentes principales:

= ½^½·(a³)^½·5·(2⁴)^⅓·(a^-1)^⅓ =

Efectuamos potencia de potencia:

= ½^½·a^3·½·5·2^4·⅓·a^(-1)·⅓ = 2^-½·a^3/2·5·2^4/3·a^-⅓ =

Donde las bases son iguales sumamos los exponentes:

= 2^{-1/2 + 4/3}·a^{3/2 - 1/3}·5 =

Para la potencia de base "2":

-	1	+	4	=	-3 + 8	=	5
	2		3		6		6

Para la potencia de base "a":

3	-	1	=	9 - 2	=	7
2	-	3	=	6	=	6

Queda:

= 2^5/6·a^7/6·5 =

= 2^5/6·a^1/6·a^6/6·5 =

= 2^5/6·a^1/6·a·5 =

Agrupamos:

= (2⁵·a)^1/6·5 =

Expresamos las potencias como raíces:

= ⁶√2⁵·a·a·5

√½·a³·5·∛2⁴·a^-1 = ⁶√2⁵·a·a·5

Problemas de potenciación y radicación con números reales =

Expresamos las raíces como potencias:

= Problemas de potenciación y radicación con números reales =

Las bases son iguales, los exponentes se suman:

1	+	2	-	1	=	3 + 4 - 1	=	6	= 1
2		3		6		6		6

= √a¹

Problemas de potenciación y radicación con números reales = √a

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo de suma, resta, potenciación y radicación con números reales