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Ejemplo de operaciones de racionalización de denominadores

Problemas n° 4 de operaciones con números reales

Resolver los siguientes ejercicios

Problema n° 4

Racionalizar los denominadores de las siguientes fracciones:

a)

1=
5

Multiplicamos y dividimos por "5":

=1·5=
55
=5=5
(55
1=5
55

b)

1=
3 - 2

Multiplicamos y dividimos por "3 + 2", aplicando diferencia de cuadrados:

=1·3 + 2=
3 - 23 + 2
=3 + 2=
(3 - 2)·(3 + 2)
=3 + 2=
(3)² - (2
=3 + 2=3 + 2
3 - 21
1= 3 + 2
3 - 2

c)

2 + 1=
2 - 1

Multiplicamos y dividimos por "2 - 1":

=2 + 1·2 - 1=
2 - 12 - 1
=(2 + 1)·(2 - 1)=
(2 - 1)·(2 - 1)
=(2 + 1)·(2 - 1)=
(2 - 1
=(2)² + 1²=
2 - 1
=2 + 1=
2 - 1

Multiplicamos y dividimos por "2 + 1":

=3·2 + 1=
2 - 12 + 1
=(3)·(2 + 1)=
(2 - 1)·(2 + 1)
=3·2 + 3=
(2)² - 1²
=3·2 + 3=6 + 3
2 - 11
2 + 1= 6 + 3
2 - 1

d)

3=
3 - 2 - 1

Multiplicamos y dividimos agrupando los términos del denominador de forma conveniente para eliminar una raíz "(3) + (2 - 1)":

=3·3 + (2 - 1)=
3 - 2 - 13 + (2 - 1)
=3·(3 + 2 - 1)=
[3 - (2 - 1)]·[3 + (2 - 1)]
=3·3 + 3·2 - 3=
(3)² - (2 - 1)²
=(3)² + 3·2 - 3=
3 - [(2)² - 2·2·1 + 1²]
=3 + 3·2 - 3=
3 - (2 - 2·2 + 1)
=3 + 3·2 - 3=
3 - 2 + 2·2 - 1
=3 + 3·2 - 3=
2

Multiplicamos y dividimos por "2":

=3 + 3·2 - 3·2=
22
=(3 + 3·2 - 32=
2·2
=2 + 3·2·2 - 3·2=
2·(2
=2 + 3·(2)² - 3·2=
2·2
=2 + 3·2 - 6
4
3=2 + 2·3 - 6
3 - 2 - 14

e)

2=
925

Multiplicamos y dividimos por "924":

=2·924=
925924
=924=
925·924
=924=924=924
925·249292
2= 924
925

f)

1= (con n > p)
nap

Para poder racionalizar un denominador la condiciĆ³n básica es el radicando sea una potencia donde el exponente sea igual al índice de la raíz. De tal forma que la raíz expresada como potencia logre un exponente igual a 1.

Expresamos la raíz como potencia:

1=1
napap/n

Entonces p/n = 1 con la condición dada de n > p, la forma más simple de lograrlo es con el opuesto multiplicativo:

p·n= 1
np

Por lo tanto, multiplicamos y dividimos por "pan":

1·pan=
nappan
=pan=
nap·pan
=pan=pan
n·pap·na
1=pan
napa

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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