Problema n° 4 de división de polinomios por Ruffini - TP04
Enunciado del ejercicio n° 4
Obtener las restantes raíces y factorear el polinomio: P(x) = x⁵ - 3·x⁴ - x³ + 11·x² - 12·x + 4, sabiendo que 2 y -2 son raíces.
Solución
P(x) = x⁵ - 3·x⁴ - x³ + 11·x² - 12·x + 4
Si x = 2 y x = -2 son raíces, entonces P(x) es divisible por x - 2 y por x + 2.
| S(x) = | x⁵ - 3·x⁴ - x³ + 11·x² - 12·x + 4 |
| (x - 2)·(x + 2) |
Dividimos por x - 2 para reducir P(x):
| 1 | -3 | -1 | 11 | -12 | 4 | |
| 2 | 2 | -2 | -6 | 10 | -4 | |
| 1 | -1 | -3 | 5 | -2 | 0 | |
Queda:
C(x) = x⁴ - x³ - 3·x² + 5·x - 2
R = 0
P(x) = (x - 2)·(x⁴ - x³ - 3·x² + 5·x - 2)
Una raíz x₁ = 2
Dividimos por x + 2 para reducir P(x):
| 1 | -1 | -3 | 5 | -2 | |
| -2 | -2 | 6 | -6 | 2 | |
| 1 | -3 | 3 | -1 | 0 | |
C(x) = x³ - 3·x² + 3·x - 1
R = 0
P(x) = (x - 2)·(x + 2)·(x³ - 3·x² + 3·x - 1)
Segunda raíz x₂ = -2
C(x) es un cuatrinomio cubo perfecto, aplicamos:
C(x) = x³ - 3·x² + 3·x - 1 = (x - 1)³
Las otras raíces son:
x₃ = x₄ = x₅ = 1
Resultado, el polinomio factorizado es:
P(x) = x⁵ - 3·x⁴ - x³ + 11·x² - 12·x + 4 = (x - 2)·(x + 2)·(x - 1)³
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo dividir polinomios por Ruffini