Problema n° 2 de operaciones con polinomios, suma, resta, producto y división - TP04
Enunciado del ejercicio n° 2
Hallar el polinomio P(x) tal que:
a) P(x)/(x + a) = x³ - a·x² + a²·x - a³
b) (x⁵ - 32)/P(x) = x⁴ + 2·x³ + 4·x² + 8·x + 16
c) P(x)/(x + 3) = x³ - 3·x² + 9·x - 27
d) P(x)/(x - 3) = x³ + 3·x² + 9·x + 27
Solución
a)
P(x)/(x + a) = x³ - a·x² + a²·x - a³
Despejamos P(x):
P(x) = (x + a)·(x³ - a·x² + a²·x - a³)
Aplicamos distributiva:
P(x) = x·x³ - a·x·x² + a²·x·x - a³·x + a·x³ - a·a·x² + a·a²·x - a·a³
P(x) = x⁴ - a·x³ + a²·x² - a³·x + a·x³ - a²·x² + a³·x - a⁴
Expresamos el resultado:
P(x) = x⁴ - a⁴
b)
(x⁵ - 32)/P(x) = x⁴ + 2·x³ + 4·x² + 8·x + 16
Despejamos P(x):
P(x) = (x⁵ - 32)÷(x⁴ + 2·x³ + 4·x² + 8·x + 16)
Dividimos:
x⁵ | 0 | 0 | 0 | 0 | -32 | x⁴ + 2·x³ + 4·x² + 8·x + 16 |
-x⁵ | -2·x⁴ | -4·x³ | -8·x² | -16·x | 0 | x - 2 |
0 | -2·x⁴ | -4·x³ | -8·x² | -16·x | -32 | |
2·x⁴ | 4·x³ | 8·x² | 16·x | 32 | ||
0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Expresamos el resultado:
P(x) = x - 2
c)
P(x)/(x + 3) = x³ - 3·x² + 9·x - 27
Despejamos P(x):
P(x) = (x + 3)·(x³ - 3·x² + 9·x - 27)
Aplicamos distributiva:
P(x) = x³·x - 3·x²·x + 9·x·x - 27·x + 3·x³ - 3·3·x² + 3·9·x - 3·27
P(x) = x⁴ - 3·x³ + 9·x² - 27·x + 3·x³ - 9·x² + 27·x - 81
Expresamos el resultado:
P(x) = x⁴ - 81
d)
P(x)/(x - 3) = x³ + 3·x² + 9·x + 27
Despejamos P(x):
P(x) = (x - 3)·(x³ + 3·x² + 9·x + 27)
Aplicamos distributiva:
P(x) = x³·x + 3·x²·x + 9·x·x + 27·x - 3·x³ - 3·3·x² - 3·9·x - 3·27
P(x) = x⁴ + 3·x³ + 9·x² + 27·x - 3·x³ - 9·x² - 27·x - 81
Expresamos el resultado:
P(x) = x⁴ - 81
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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