Problema n° 2 de operaciones con polinomios - TP04

Enunciado del ejercicio n° 2

Hallar el polinomio P(x) tal que:

a) P(x)/(x + a) = x³ - a·x² + a²·x - a³

b) (x⁵ - 32)/P(x) = x⁴ + 2·x³ + 4·x² + 8·x + 16

c) P(x)/(x + 3) = x³ - 3·x² + 9·x - 27

d) P(x)/(x - 3) = x³ + 3·x² + 9·x + 27

Solución

a)

P(x)/(x + a) = x³ - a·x² + a²·x - a³

Despejamos P(x):

P(x) = (x + a)·(x³ - a·x² + a²·x - a³)

Aplicamos distributiva:

P(x) = x·x³ - a·x·x² + a²·x·x - a³·x + a·x³ - a·a·x² + a·a²·x - a·a³

P(x) = x⁴ - a·x³ + a²·x² - a³·x + a·x³ - a²·x² + a³·x - a⁴

Expresamos el resultado:

P(x) = x⁴ - a⁴

b)

(x⁵ - 32)/P(x) = x⁴ + 2·x³ + 4·x² + 8·x + 16

Despejamos P(x):

P(x) = (x⁵ - 32)÷(x⁴ + 2·x³ + 4·x² + 8·x + 16)

Dividimos:

Expresamos el resultado:

P(x) = x - 2

c)

P(x)/(x + 3) = x³ - 3·x² + 9·x - 27

Despejamos P(x):

P(x) = (x + 3)·(x³ - 3·x² + 9·x - 27)

Aplicamos distributiva:

P(x) = x³·x - 3·x²·x + 9·x·x - 27·x + 3·x³ - 3·3·x² + 3·9·x - 3·27

P(x) = x⁴ - 3·x³ + 9·x² - 27·x + 3·x³ - 9·x² + 27·x - 81

Expresamos el resultado:

P(x) = x⁴ - 81

d)

P(x)/(x - 3) = x³ + 3·x² + 9·x + 27

Despejamos P(x):

P(x) = (x - 3)·(x³ + 3·x² + 9·x + 27)

Aplicamos distributiva:

P(x) = x³·x + 3·x²·x + 9·x·x + 27·x - 3·x³ - 3·3·x² - 3·9·x - 3·27

P(x) = x⁴ + 3·x³ + 9·x² + 27·x - 3·x³ - 9·x² - 27·x - 81

Expresamos el resultado:

P(x) = x⁴ - 81

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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