Problema n° 1 de factorización de polinomios - TP06

Enunciado del ejercicio n° 1

Factorizar los siguientes polinomios:

a) 2·a·x² - x

b) x² - a·x - b·x + a·b

c) x⁵ - 32

e) x⁵ - 0,00001

f) 9 - 6·x⁴ + x⁸

g) x³ + x - 2

h) -y³ - y² + y

i) (x - 2)² - (x - 1)²

j) x⁵ - 4·x³ + x² - 4

k) 36·t² + 9 + 36·t

l) x³ - 9·x²·y + 27·x·y² - 27·y³

m) (a + b)·x³ - (a + b)·x² - a - b

Solución

a)

2·a·x² - x =

Extraemos factor común "x":

2·a·x² - x = x·(2·a·x - 1)

b)

x² - a·x - b·x + a·b =

Extraemos factor común en grupos:

x² - a·x - b·x + a·b = x·(x - a) - b·(x - a)

Extraemos factor común "x - a":

x² - a·x - b·x + a·b = (x - b)·(x - a)

c)

x⁵ - 32 =

Hallamos el máximo común divisor de 32:

x⁵ - 32 = x⁵ - 2⁵

d)

Hallamos el máximo común divisor de 25:

e)

x⁵ - 0,00001 =

Hallamos el máximo común divisor de 0,00001:

x⁵ - 0,00001 = x⁵ - 10^-4

f)

9 - 6·x⁴ + x⁸ =

Realizamos un cambio de variable:

v = x⁴

9 - 6·x⁴ + x⁸ = 9 - 6·v + v²

Se trata de un trinomio cuadrado perfecto:

9 - 6·x⁴ + x⁸ = (v - 3)²

Invertimos el cambio de variable:

9 - 6·x⁴ + x⁸ = (x⁴ - 3)²

g)

x³ + x - 2 =

Aplicando el Teorema del Resto observamos que para valores de "x" iguales a "1" el resto es cero, dividimos por x - 1:

Q(x) = x - 1

C(x) = x² + x + 2

R = 0

x³ + x - 2 = (x - 1)·(x² + x + 2)

h)

-y³ - y² + y =

Extraemos factor común "-y":

-y³ - y² + y = -y·(y² + y - 1)

i)

(x - 2)² - (x - 1)² =

Tenemos una diferencia de cuadrados, la desarrollamos:

(x - 2)² - (x - 1)² = [(x - 2) - (x - 1)]·[(x - 2) + (x - 1)]

(x - 2)² - (x - 1)² = (x - 2 - x + 1)·(x - 2 + x - 1)

(x - 2)² - (x - 1)² = (-1)·(2·x - 3)

(x - 2)² - (x - 1)² = -2·x + 3

j)

x⁵ - 4·x³ + x² - 4 =

Extraemos factor común en grupos:

x⁵ - 4·x³ + x² - 4 = x³·(x² - 4) + x² - 4

Extraemos factor común "x² - 4":

x⁵ - 4·x³ + x² - 4 = (x³ + 1)·(x² - 4)

Resolvemos la diferencia de cuadrados:

x⁵ - 4·x³ + x² - 4 = (x³ + 1)·(x - 2)·(x + 2)

Resolvemos la suma de potencias de igual grado con exponente impar

x⁵ - 4·x³ + x² - 4 = (x + 1)·(x² - x + 1)·(x - 2)·(x + 2)

k)

36·t² + 9 + 36·t =

Ordenamos el polinomio y extraemos factor común "9":

36·t² + 9 + 36·t = 36·t² + 36·t + 9

36·t² + 9 + 36·t = 9·(4·t² + 4·t + 1)

Se trata de un trinomio cuadrado perfecto:

36·t² + 9 + 36·t = 3²·(2·t + 1)²

l)

x³ - 9·x²·y + 27·x·y² - 27·y³ =

Se trata de un cuatrinomio cubo perfecto:

x³ - 9·x²·y + 27·x·y² - 27·y³ = (x - 3·y)³

m)

(a + b)·x³ - (a + b)·x² - a - b =

Extraemos factor común a + b:

(a + b)·x³ - (a + b)·x² - a - b = (a + b)·x³ - (a + b)·x² - (a + b)

(a + b)·x³ - (a + b)·x² - a - b = (a + b)·(x³ - x² - 1)

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo, cómo factorizar polinomios