Problema n° 3 de cálculo del valor numérico de un polinomio - TP09

Enunciado del ejercicio n° 3

Determinar el valor numérico de los siguientes polinomios:

a) P(x) = x4 + 4·x² - 2; para x = 2

b) P(x) = i·x³ + (1 - i)·x² - i; para x = 1 + i

c) P(x) = 2·x4 - 4·x³ - 7·x² - 14; para x = 1 + 3

d) P(x) = x³ - 3·x² + 3·x - 3; para x = 1 + 2

e) P(x; y) =x² - y²+x³ - y³+x
x + yx - yy

Para x = ½ e y = -⅔

Solución

a)

P(x) = x4 + 4·x² - 2; para x = 2

Reemplazamos "x" por "2" haciendo P(2):

P(2) = 24 + 4·2² - 2

P(2) = 16 + 4·4 - 2

P(2) = 16 + 16 - 2

P(2) = 30

b)

P(x) = i·x³ + (1 - i)·x² - i; para x = 1 + i

Reemplazamos "x" por "1 + i" haciendo P(1 + i):

P(1 + i) = i·(1 + i)³ + (1 - i)·(1 + i)² - i

P(1 + i) = i·(1 + 3·i + 3·i² + i³) + (1 - i)·(1 + 2·i + i²) - i

P(1 + i) = i + 3·i² + 3·i³ + i4 + 1 + 2·i + i² - i - 2·i² - i³ - i

Agrupamos los términos por potencias de "i":

P(1 + i) = i + 2·i - i - i + 3·i² + i² - 2·i² + 3·i³ - i³ + i4 + 1

Sumamos, el valor numérico es:

P(1 + i) = i + 2·i² + 2·i³ + i4 + 1

c)

P(x) = 2·x4 - 4·x³ - 7·x² - 14; para x = 1 + 3

Reemplazamos "x" por "1 + 3" haciendo P(1 + 3):

P(1 + 3) = 2·(1 + 3)4 - 4·(1 + 3)³ - 7·(1 + 3)² - 14

Desarrollamos el polinomio:

P(1 + 3) = 2·[1 + 4·3 + 6·(3)² + 4·(3)³ + (3)4] - 4·[1 + 3·3 + 3·(3)² + (3)³] - 7·(1 + 2·3 + 3²) - 14

P(1 + 3) = 2·(1 + 4·3 + 6·3 + 4·3·3 + 3²) - 4·(1 + 3·3 + 3·3 + 3·3) - 7·(1 + 2·3 + 3) - 14

P(1 + 3) = 2·(1 + 4·3 + 18 + 12·3 + 9) - 4·(1 + 3·3 + 9 + 3·3) - 7·(1 + 2·3 + 3) - 14

P(1 + 3) = 2·(16·3 + 28) - 4·(6·3 + 10) - 7·(2·3 + 4) - 14

P(1 + 3) = 32·3 + 56 - 24·3 - 40 - 14·3 - 28 - 14

El valor numérico es:

P(1 + 3) = -26 - 6·3

d)

P(x) = x³ - 3·x² + 3·x - 3; para x = 1 + 2

Reemplazamos "x" por "1 + 2" haciendo P(1 + 2):

P(1 + 2) = (1 + 2)³ - 3·(1 + 2)² + 3·(1 + 2) - 3

Desarrollamos el polinomio:

P(1 + 2) = [1 + 3·2 + 3·(2)² + (2)³] - 3·[1 + 2·2 + (2)²] + 3 + 3·2 - 3

P(1 + 2) = 1 + 3·2 + 3·2 + 2·2 - 3·(1 + 2·2 + 2) + 3·2

P(1 + 2) = 1 + 5·2 + 6 - 3·(3 + 2·2) + 3·2

P(1 + 2) = 7 + 8·2 - 9 - 6·2

El valor numérico es:

P(1 + 2) = -2 + 2·2

e)

P(x; y) =x² - y²+x³ - y³+x
x + yx - yy

Para x = ½ e y = -⅔

P(x; y) =(x - y)·(x + y)+(x - y)·(x² - 2·x·y + y²)+x
x + yx - yy

Simplificamos:

P(x; y) =(x - y)·(x + y)+(x - y)·(x² - 2·x·y + y²)+x
x + yx - yy
P(x; y) = x - y + x² - 2·x·y + y² +x
y
P(x; y) =x·y - y² + x²·y - 2·x·y² + y³ + x
y

Reemplazamos "x" por "½" e "y" por "-⅔" haciendo P(½; -⅔):

P(½; -⅔) =½·(-⅔) - (-⅔)² + ½²·(-⅔) - 2·½·(-⅔)² + (-⅔)³ + ½
(-⅔)

Desarrollamos expresión algebraica:

 1·(-2) - (-2)² + (1)²·(-2) - 2·1·(-2)² + (-2)³ +1
P(½; -⅔) =233232332
 -2 
  3 
P(½; -⅔) = (-1-4-1·2-4-8+1)·(-3)
394392722
P(½; -⅔) = (-1-4-1-4-8+1)·(-3)
39392722
P(½; -⅔) =-18 - 6 - 18 - 6 - 16 + 27·(-3)
542
P(½; -⅔) = (-37)·(-3)
542
P(½; -⅔) =37·3
542
P(½; -⅔) =37·1
182

El valor numérico es:

P(½; -⅔) =37
36

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo calcular el valor numérico de un polinomio

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