Problema n° 3 de cálculo del valor numérico de un polinomio - TP09

Enunciado del ejercicio n° 3

Determinar el valor numérico de los siguientes polinomios:

a) P(x) = x⁴ + 4·x² - 2; para x = 2

b) P(x) = i·x³ + (1 - i)·x² - i; para x = 1 + i

c) P(x) = 2·x⁴ - 4·x³ - 7·x² - 14; para x = 1 + √3

d) P(x) = x³ - 3·x² + 3·x - 3; para x = 1 + ∛2

e) P(x; y) =	x² - y²	+	x³ - y³	+	x
	x + y		x - y		y

Para x = ½ e y = -⅔

Solución

a)

P(x) = x⁴ + 4·x² - 2; para x = 2

Reemplazamos "x" por "2" haciendo P(2):

P(2) = 2⁴ + 4·2² - 2

P(2) = 16 + 4·4 - 2

P(2) = 16 + 16 - 2

P(2) = 30

b)

P(x) = i·x³ + (1 - i)·x² - i; para x = 1 + i

Reemplazamos "x" por "1 + i" haciendo P(1 + i):

P(1 + i) = i·(1 + i)³ + (1 - i)·(1 + i)² - i

P(1 + i) = i·(1 + 3·i + 3·i² + i³) + (1 - i)·(1 + 2·i + i²) - i

P(1 + i) = i + 3·i² + 3·i³ + i⁴ + 1 + 2·i + i² - i - 2·i² - i³ - i

Agrupamos los términos por potencias de "i":

P(1 + i) = i + 2·i - i - i + 3·i² + i² - 2·i² + 3·i³ - i³ + i⁴ + 1

Sumamos, el valor numérico es:

P(1 + i) = i + 2·i² + 2·i³ + i⁴ + 1

c)

P(x) = 2·x⁴ - 4·x³ - 7·x² - 14; para x = 1 + √3

Reemplazamos "x" por "1 + √3" haciendo P(1 + √3):

P(1 + √3) = 2·(1 + √3)⁴ - 4·(1 + √3)³ - 7·(1 + √3)² - 14

Desarrollamos el polinomio:

P(1 + √3) = 2·[1 + 4·√3 + 6·(√3)² + 4·(√3)³ + (√3)⁴] - 4·[1 + 3·√3 + 3·(√3)² + (√3)³] - 7·(1 + 2·√3 + √3²) - 14

P(1 + √3) = 2·(1 + 4·√3 + 6·3 + 4·3·√3 + 3²) - 4·(1 + 3·√3 + 3·3 + 3·√3) - 7·(1 + 2·√3 + 3) - 14

P(1 + √3) = 2·(1 + 4·√3 + 18 + 12·√3 + 9) - 4·(1 + 3·√3 + 9 + 3·√3) - 7·(1 + 2·√3 + 3) - 14

P(1 + √3) = 2·(16·√3 + 28) - 4·(6·√3 + 10) - 7·(2·√3 + 4) - 14

P(1 + √3) = 32·√3 + 56 - 24·√3 - 40 - 14·√3 - 28 - 14

El valor numérico es:

P(1 + √3) = -26 - 6·√3

d)

P(x) = x³ - 3·x² + 3·x - 3; para x = 1 + ∛2

Reemplazamos "x" por "1 + ∛2" haciendo P(1 + ∛2):

P(1 + ∛2) = (1 + ∛2)³ - 3·(1 + ∛2)² + 3·(1 + ∛2) - 3

Desarrollamos el polinomio:

P(1 + ∛2) = [1 + 3·∛2 + 3·(∛2)² + (∛2)³] - 3·[1 + 2·∛2 + (∛2)²] + 3 + 3·∛2 - 3

P(1 + ∛2) = 1 + 3·∛2 + 3·2 + 2·∛2 - 3·(1 + 2·∛2 + 2) + 3·∛2

P(1 + ∛2) = 1 + 5·∛2 + 6 - 3·(3 + 2·∛2) + 3·∛2

P(1 + ∛2) = 7 + 8·∛2 - 9 - 6·∛2

El valor numérico es:

P(1 + ∛2) = -2 + 2·∛2

e)

P(x; y) =	x² - y²	+	x³ - y³	+	x
	x + y		x - y		y

Para x = ½ e y = -⅔

P(x; y) =	(x - y)·(x + y)	+	(x - y)·(x² - 2·x·y + y²)	+	x
	x + y		x - y		y

Simplificamos:

P(x; y) =	(x - y)·(x + y)	+	(x - y)·(x² - 2·x·y + y²)	+	x
	x + y		x - y		y

P(x; y) = x - y + x² - 2·x·y + y² +	x
	y

P(x; y) =	x·y - y² + x²·y - 2·x·y² + y³ + x
	y

Reemplazamos "x" por "½" e "y" por "-⅔" haciendo P(½; -⅔):

P(½; -⅔) =	½·(-⅔) - (-⅔)² + ½²·(-⅔) - 2·½·(-⅔)² + (-⅔)³ + ½
	(-⅔)

Desarrollamos expresión algebraica:

	1	·(-	2	) - (-	2	)² + (	1	)²·(-	2	) - 2·	1	·(-	2	)² + (-	2	)³ +	1
P(½; -⅔) =	2		3		3		2		3		2		3		3		2
								-	2
									3

P(½; -⅔) = (-	1	-	4	-	1	·	2	-	4	-	8	+	1	)·(-	3	)
	3		9		4		3		9		27		2		2

P(½; -⅔) = (-	1	-	4	-	1	-	4	-	8	+	1	)·(-	3	)
	3		9		3		9		27		2		2

P(½; -⅔) =	-18 - 6 - 18 - 6 - 16 + 27	·(-	3	)
	54		2

P(½; -⅔) = (-	37	)·(-	3	)
	54		2

P(½; -⅔) =	37	·	3
	54		2

P(½; -⅔) =	37	·	1
	18		2

El valor numérico es:

P(½; -⅔) =	37
	36

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina