Guía nº 9 de ejercicios resueltos de polinomios. Valor numérico y coeficientes
Resolver los siguientes ejercicios
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Problema nº 1
Decir cuáles de las siguientes proposiciones son valederas, justificar la respuesta:
a) El opuesto de un polinomio es único.
b) Si a un polinomio le sumamos el polinomio nulo obtenemos su opuesto.
c) El polinomio nulo es neutro para el producto de polinomios.
d) El polinomio que es neutro para el producto no tiene grado.
e) (x³ + 1)/(x + 3) es un polinomio de 3° grado.
f) Si a un polinomio le sumamos su opuesto obtenemos el polinomio nulo.
g) x⁻¹ + x⁻² + x⁴ no es un polinomio.
• Respuesta:
a) verdadero;
b) falso;
c) falso;
d) verdadero;
e) falso;
f) verdadero;
g) verdadero
Problema nº 2
Determinar los valores de a, b, c y d sabiendo que:
a) 3 + 4·x + 5·x² + 7·x³ = a + (a + b)·x + (b - c)·x² + d·x³
b) 9·x² - 16·x + 4 = a·(x - 1)·(x - 2) + b·x·(x - 2) + c·x·(x - 1)
c) x + 2 = a·(x² + x + 1) + (b·x + c)·(x + 1)
• Respuesta:
a) a = 3; b = 1; c = -4; d = 7;
b) a = 2; b = 3; c = 4;
c) a = 1; b = -1; c = 1
Problema nº 3
Determinar el valor numérico de los siguientes polinomios:
a) P(x) = x⁴ + 4·x² - 2; para x = 2
b) P(x) = i·x³ + (1 - i)·x² - i; para x = 1 + i
c) P(x) = 2·x⁴ - 4·x³ - 7·x² - 14; para x = 1 + √3
d) P(x) = x³ - 3·x² + 3·x - 3; para x = 1 + ∛2
| e) P(x; y) = | x² - y² | + | x³ - y³ | + | x |
| x + y | x - y | y |
Para x = ½ e y = -⅔
• Respuesta:
a) P(2) = 30;
b) P(1 + i) = i + 2·i² + 2·i³ + i⁴ + 1;
c) P(1 + √3) = -26 - 6·√3;
d) P(1 + ∛2) = -2 + 2·∛2;
e) P(½; -⅔) = 37/36
Problema nº 4
Determinar el valor de "a", si P(x) = a·x³ + 4 y P(-1) = 8.
• Respuesta: a = -4
Problema nº 5
Dado P(x) hallar "c" para que P(c) = 0:
a) P(x) = 2·x - 3
b) P(x) = x² - 4
c) P(x) = (x - 2)·(x + 2)·(2·x - 3)
• Respuesta:
a) c = 3/2;
b) c = ±2;
c) c = ±2 ∧ c = 3/2
Problema nº 6
Dados los polinomios:
| R(x) = | 2 | ·x³ - | 3 | ·x² + 1 |
| 3 | 2 |
Q(x) = x² - ⅙
Hallar:
a) R(2) + Q(3)
b) R(0) - Q(1)
c) R(-1) - Q(-1)
• Respuesta:
a) R(2) + Q(3) = 55/6;
b) R(0) - Q(1) = ⅙;
c) R(-1) - Q(-1) = -2
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina