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Contenido: Determinantes de orden uno y dos. Propiedades de los determinantes. Determinante de orden arbitrario. Ejercicios de cálculo de determinantes. ¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales de 3x3? ¿Qué son los determinantes en matemáticas?

Determinantes

A cada matriz n-cuadrada A = (aij) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), | A | o

a11a12a1n
a21a22a2·n
am1am2amn

Una tabla ordenada n×n de escalares situada entre dos líneas verticales, llamada determinante de orden n, no es una matriz. La función determinante apareció por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtención de éstas.

Determinantes de orden uno y dos

Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue:

|a11| = a11

a11a12= a11·a22 - a12·a21
a21a22

Así, el determinante de una matriz 1. 1 A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det (A) = |a11| = a11

Ejemplos:

a.

Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos det (24) = 24, det(-3) = -3, det (3·x + 5) = 3·x + 5.

b.

35= (3)·(1) - (5)·(2) = 3 - 10 = -7
21
2-3= (2)·(-4) - (-3)·(1) = -8 - (-3) = -8 + 3 = -5
1-4

Determinantes de orden tres

Consideremos una matriz 3×3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:

det (A) =a11a12a13=
a21a22a23
a31a32a33

= a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a21·a32·a13 - a13·a22·a31 - a12·a21·a33 - a32·a23·a11

Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo). Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos:

Diagrama para calcular determinantes de orden tres (Para los tres productos positivos)

Diagrama para calcular determinantes de orden tres (Para los tres productos negativos)

Ejemplo: Calcular el valor del determinante:

321=
02-5
-214

= (3)·(2)·(4) + (2)·(-5)·(-2) + (0)·(1)·(1) - (-2)·(2)·(1) - (0)·(2)·(4) - (1)·(-5)·(3) =

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63

El determinante de la matriz 3×3 A = (ax) puede reescribirse como:

det (A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) =

= a11a22a23- a12a21a23+ a13a21a22
a32a33a31a33a31a32

Que es una combinación lineal de tres determinantes de orden dos, cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada. Esta combinación lineal puede indicarse de la forma siguiente:

a11a11a12a13- a12a11a12a13+ a13a11a12a13
a21a22a23a21a22a23a21a22a23
a31a32a33a31a32a33a31a32a33

Nótese que cada matriz 2.2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente.

Ejemplo:

Para demostrar que la propiedad anterior se cumple, trabajaremos con:

321=
02-5
-214
= 3·321- 2·321+ 1·321=
02-502-502-5
-214-214-214
= 3·2-5- 2·0-5+ 1·02=
14-24-21

= 3·(8 + 5) - 2·(0 - 10) + 1·(0 + 4) = 39 + 20 + 4 = 63

Propiedades de los determinantes

Las propiedades básicas del determinante son las siguientes:

1) El determinante de una matriz A y el de su traspuesta AT son iguales, es decir,

2) Sea A una matriz cuadrada,

3) Supongamos que B se ha obtenido de A mediante una operación elemental entre filas o columnas,

4) Sea A cualquier matriz n-cuadrada, son equivalentes los siguientes principios:

5) El determinante es una función multiplicativa. Es decir, el determinante del producto de matrices A y B es el producto de los determinantes: |A·B| = |A|·|B|

6) Supongamos que A y B son matrices similares, entonces: |A| = |B|

Determinante de orden arbitrario

Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n·n (siendo n un número par). Para calcular el det (A) se procede de la siguiente manera:

a11a12a1n=
a21a22a2·n
an1an2ann
= a11a22a2·n- a21a12a1n-an1a12a1n
a22a2·n
an2annan2ann

Los signos se van alternando según la posición que ocupen las entradas del determinante. Es decir:

+-+-
-+-+
+-+-
  

Ejemplo:

Calcular el determinante de A = 320-1 
1510
4-201
01-32

Si observamos la matriz, podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros. Así pues, si cogemos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante, nos ahorraremos calcular dos determinantes, ya que el producto de un determinante por cero es cero.

det (A) = -1·32-1- (-3)·32-1=
4-21150
0124-21

= -1·(-12 + 0 - 4 - 16 - 3) + 3·(15 + 0 + 2 + 20 - 2 - 0) =

= -1·(-35) + 3·(35) = 35 + 105 = 140

Ejemplo de cálculo de determinantes

Ejemplo n° 1

Calcular los siguientes determinantes:

a.

1-2,31
35-2-4

b.

1-32,1-32,310
52-752-72-24
000401507

c.

2104,0-122
0-12-14152
54-323-8-20
106-2124-2

a.

1-2= 5 - (-6) = 5 + 6 = 11
35
31= -12 - (-2) = -12 + 2 = -10
-2-4

b.

1-32= 0
52-7
000

Al haber toda una fila nula, el determinante da como resultado = 0.

1-32= 2 + 48 + 0 - 16 - (-15) - 0 = 86 - 16 + 15 = 85
52-7
401
310= -42 + 20 + 0 - 0 - 14 - 0 = -36
2-24
507
2104
= 2·-12-1+ 5·104-1·104=
4-32-12-1-12-1
06-206-24-32
0-12-1
54-32
106-2

= 2·(-6 - 24 + 16 + 2) + 5·(-4 - 24 + 6) - 1·(4 + 12 - 16 - 3) = -24 - 110 + 3 = -131

 
0-122
= -(-1)·452- 2·415=
3-203-8-2
14-2124
4152
3-8-20
124-2

= 1·(16 + 0 + 24 - (-4) - (-30) - 0) - 2·(-128 - 2 + 30 - (-40) - 12 - (-16)) = 74 - 2·(-56) = 74 + 112 = 186

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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