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Determinantes

Propiedades de los determinantes

Las propiedades básicas del determinante son las siguientes:

1) El determinante de una matriz A y el de su traspuesta AT son iguales, es decir,

2) Sea A una matriz cuadrada,

3) Supongamos que B se ha obtenido de A mediante una operación elemental entre filas o columnas,

4) Sea A cualquier matriz n-cuadrada, son equivalentes los siguientes principios:

5) El determinante es una función multiplicativa. Es decir, el determinante del producto de matrices A y B es el producto de los determinantes: |A·B| = |A|·|B|

6) Supongamos que A y B son matrices similares, entonces: |A| = |B|

Determinante de orden arbitrario

Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n·n (siendo n un número par). Para calcular el det (A) se procede de la siguiente manera:

a11a12a1n=
a21a22a2·n
an1an2ann
= a11a22a2·n- a21a12a1n-an1a12a1n
a22a2·n
an2annan2ann

Los signos se van alternando según la posición que ocupen las entradas del determinante. Es decir:

+-+-
-+-+
+-+-
  

Ejemplo:

Calcular el determinante de A = 320-1 
1510
4-201
01-32

Si observamos la matriz, podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros. Así pues, si cogemos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante, nos ahorraremos calcular dos determinantes, ya que el producto de un determinante por cero es cero.

det (A) = -1·32-1- (-3)·32-1=
4-21150
0124-21

= -1·(-12 + 0 - 4 - 16 - 3) + 3·(15 + 0 + 2 + 20 - 2 - 0) =

= -1·(-35) + 3·(35) = 35 + 105 = 140

Ejemplo de cálculo de determinantes

Ejemplo n° 1

Calcular los siguientes determinantes:

a.

1-2,31
35-2-4

b.

1-32,1-32,310
52-752-72-24
000401507

c.

2104,0-122
0-12-14152
54-323-8-20
106-2124-2

a.

1-2= 5 - (-6) = 5 + 6 = 11
35
31= -12 - (-2) = -12 + 2 = -10
-2-4

b.

1-32= 0
52-7
000

Al haber toda una fila nula, el determinante da como resultado = 0.

1-32= 2 + 48 + 0 - 16 - (-15) - 0 = 86 - 16 + 15 = 85
52-7
401
310= -42 + 20 + 0 - 0 - 14 - 0 = -36
2-24
507
2104
= 2·-12-1+ 5·104-1·104=
4-32-12-1-12-1
06-206-24-32
0-12-1
54-32
106-2

= 2·(-6 - 24 + 16 + 2) + 5·(-4 - 24 + 6) - 1·(4 + 12 - 16 - 3) = -24 - 110 + 3 = -131

 
0-122
= -(-1)·452- 2·415=
3-203-8-2
14-2124
4152
3-8-20
124-2

= 1·(16 + 0 + 24 - (-4) - (-30) - 0) - 2·(-128 - 2 + 30 - (-40) - 12 - (-16)) = 74 - 2·(-56) = 74 + 112 = 186

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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