Matrices y determinantes. Operaciones (primera parte)

Adjunto de una matriz

Consideremos una matriz n-cuadrada A = (ax) sobre un cuerpo K. El adjunto de A, denotado por adj A, es la traspuesta de la matriz de cofactores de A:

adj A = a11a21an1 
a12a22an2
a1na2·nanm

Ejemplo:

Sea A = 12-1 
0-32
215

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

A11 = +-32= -17
15
A12 = -02= 4
25
A13 = +0-3= 6
21
A21 = -2-1= -11
15
A22 = +1-1= 7
25
A23 = -12= 3
21
A31 = +2-1= 1
-32
A32 = -1-1= -2
02
A33 = +12= -3
0-3

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

adj A = -17-111 
47-2
63-3

Aplicación del adjunto para hallar la matriz inversa.

Para toda matriz cuadrada A, A·(adj A) = (adj A)·A = |A| I

De este modo, si |A| ≠ 0,

A-1 = 1/|A| (Adjunta A)

Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro método la inversa de una matriz.

Ejemplo:

Consideremos la matriz

A = 12-1 
0-32
215

y

adj A = -17-111 
47-2
63-3

y el det A:

det (A) =12-1= -15 + 8 + 0 - 6 - 0 - 2 = -15 ≠ 0
0-32
215

Así pues, aplicando la propiedad anterior:

A-1 = 1/|A| (Adjunta A), obtenemos:

A-1 = (-1/15)· -17-111 
47-2
63-3

Ejemplo de cálculo de la matriz inversa

Ejemplo n° 1

Calcular, por la propiedad anterior, la inversa de las siguientes matrices:

a)

A = 12 
24
y B = 3-1 
25

b)

A = 1-32 
250
0-1-2

a)

Primero hallaremos el determinante de la matriz A:

det A =12= 0
24

Como el determinante es cero, no existe la inversa de la matriz A

det B =3-1= 15 + 2 = 17
25

El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B, así pues, los cofactores de los cuatro elementos de B son:

B11 = 5
B12 = -2

B21 = 1
B22 = 3

y el adjunto de B, denotado por adj B, será

adj B = 51 
-23

Aplicando ahora la propiedad

B-1 =1·(adj B)
|B|
B-1 =1· 51 = 5/171/17 
17-23-2/173/17

b)

Empezaremos por hallar el det A,

det A =1-32= -10 - 4 - 12 = -26
250
0-1-2

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

A11 = +50= -10
-1-2
A12 = -20= 4
0-2
A13 = +25= -2
0-1
A21 = --32= -8
-1-2
A22 = +12= -2
0-2
A23 = -1-3= 1
0-1
A31 = +-32= -10
50
A32 = -12= 4
20
A33 = +1-3= 11
25

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

adj A = -10-8-10 
4-24
-2111

Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1:

A-1 = 1/|A| (Adjunta A)

A-1 = (-1/26)· -10-8-10 =
4-24
-2111

Simplificando:

A-1 = 5/134/135/13 
-2/131/13-2/13
1/13-1/26-11/26

Autor: Jesús. España.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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