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Matrices y determinantes. Operaciones AP11

Contenido: Adjunto de una matriz. Ejercicio: cálculo de la matriz inversa. Cálculo del rango de una matriz.

Matrices y determinantes

Adjunto de una matriz

Consideremos una matriz n-cuadrada A = (ax) sobre un cuerpo K. El adjunto de A, denotado por adj A, es la traspuesta de la matriz de cofactores de A:

adj A = a11a21an1 
a12a22an2
a1na2·nanm

Ejemplo:

Sea A = 12-1 
0-32
215

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

A11 = +-32= -17
15
A12 = -02= 4
25
A13 = +0-3= 6
21
A21 = -2-1= -11
15
A22 = +1-1= 7
25
A23 = -12= 3
21
A31 = +2-1= 1
-32
A32 = -1-1= -2
02
A33 = +12= -3
0-3

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

adj A = -17-111 
47-2
63-3

Aplicación del adjunto para hallar la matriz inversa.

Para toda matriz cuadrada A, A·(adj A) = (adj A)·A = |A| I

De este modo, si |A| ≠ 0,

A-1 = 1/|A| (Adjunta A)

Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro método la inversa de una matriz.

Ejemplo:

Consideremos la matriz

A = 12-1 
0-32
215

y

adj A = -17-111 
47-2
63-3

y el det A:

det (A) =12-1= -15 + 8 + 0 - 6 - 0 - 2 = -15 ≠ 0
0-32
215

Así pues, aplicando la propiedad anterior:

A-1 = 1/|A| (Adjunta A), obtenemos:

A-1 = (-1/15)· -17-111 
47-2
63-3

Ejemplo de cálculo de la matriz inversa

Ejemplo n° 1

Calcular, por la propiedad anterior, la inversa de las siguientes matrices:

a.

A = 12 
24
y B = 3-1 
25

b.

A = 1-32 
250
0-1-2

a.

Primero hallaremos el determinante de la matriz A:

det A =12= 0; como el determinante es cero, no existe la inversa de la matriz A
24
det B =3-1= 15 + 2 = 17
25

El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B, así pues, los cofactores de los cuatro elementos de B son:

B11 = 5
B12 = -2

B21 = 1
B22 = 3

y el adjunto de B, denotado por adj B, será

adj B = 51 
-23

Aplicando ahora la propiedad

Ejemplo de cálculo de la matriz inversa

b.

Empezaremos por hallar el det A,

det A =1-32= -10 - 4 - 12 = -26
250
0-1-2

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

A11 = +50= -10
-1-2
A12 = -20= 4
0-2
A13 = +25= -2
0-1
A21 = --32= -8
-1-2
A22 = +12= -2
0-2
A23 = -1-3= 1
0-1
A31 = +-32= -10
50
A32 = -12= 4
20
A33 = +1-3= 11
25

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

adj A = -10-8-10 
4-24
-2111

Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1:

A-1 = 1/|A| (Adjunta A) = (-1/26)· -10-8-10 = simplificando,
4-24
-2111
A-1 = 5/134/135/13 
-2/131/13-2/13
1/13-1/26-11/26

Cálculo del rango de una matriz

Consideremos la matriz A = (aij):

A = a11a12a1n 
a21a22a2·n
am1am2amn

1) El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A' que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas la líneas (filas o columnas) cuyas entradas estén sólo formadas por ceros, es decir, que sean nulas.

2) Consideremos la matriz:

A1 = (a11, a12, …, a1n)

Y supongamos que a11 ≠ 0, entonces:

Rango (A) ≥ rango (A1) = 1

3) Añadimos filas de la matriz A a la matriz A1 hasta encontrar una matriz que cumpla:

A2 = a11a1n , donde (1 < i ≤ n),:
ai1ain

Tal que posea un menor no nulo de la forma:

a11a1j≠ 0
ai1aij

Por consiguiente,

rango (A) ≥ rango (A2) = 2.

Si esto no hubiese sido posible, entonces:

rango (A) = 1.

Supongamos que rango (A) ≥ rango (A2) y que i = 2 y j = 2.

4) Añadimos filas a la matriz A2 hasta encontrar una matriz que cumpla:

A3 = a11a12a1j 
a21a22a2j
ai1ai1aij

De forma que posea un menor de orden tres de la forma:

a11a12a1j≠ 0
a21a22a2j
ai1ai2aij

Entonces:

rango (A) ≥ rango (A2) = 3.

En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor, entonces:

rango (A) = rango (A2) = 2.

Suponiendo que rango (A) ≥ rango (A3) y que i = 3 y j = 3, se procedería como en los casos anteriores, y así sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A.

Ejemplos:

a.

Sea la matriz A una matriz de orden tres. Hallar el rango (A).

A = 12-5 
365
0-14

Como A es una matriz cuadrada de orden tres, como máximo el rango (A) puede valer tres. Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A. Así pues

12= 6 - 6 = 0
36

Ya que el resultado es cero, probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero. Si no encontramos ninguna, el rango (A) = 1.

1-5= 2 - (-15) = 2 + 15 = 17 ≠ 0
32

Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo, podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2.

Añadimos ahora una columna y una fila más para ver si el rango puede ser tres:

12-5= 24 + 0 + 15 - 0 - 24 + 2 = 17 ≠ 0
362
0-14

Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres, el rango

(A) = 3.

No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz, ésta tiene que ser cuadrada. Así, en el siguiente ejemplo:

b.

Calcular el rango de la matriz B de orden 3×4.

B = 1-210 
2-42-1
1113
1-2= -4 + 4 = 0
2-4
11= 2 - 2 = 0
22
10= -1 + 0 = -1 ≠ 0
2-1

Como hay una determinante de orden dos no nulo, el rango de la matriz B es mayor o igual que 2. Calculamos a continuación los determinantes de orden superior:

1-21= -4 - 4 + 2 + 4 + 4 - 2 = 0
2-42
111

Probamos con un segundo determinante de orden tres:

1-20= -12 + 2 + 0 + 0 + 12 + 1 = 3 ≠ 0
2-4-1
113

Así pues, como hay un determinante de orden tres que no es nulo, el rango (B) = 3. Un rango mayor que 3 no se puede hallar, ya que no se puede formar un determinante de orden 4. Recuérdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz, éstas tienen que ser cuadradas.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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