Matrices y determinantes

Adjunto de una matriz

Consideremos una matriz n-cuadrada A = (a_x) sobre un cuerpo K. El adjunto de A, denotado por adj A, es la traspuesta de la matriz de cofactores de A:

Ejemplo:

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

- Aplicación del adjunto para hallar la matriz inversa

Para toda matriz cuadrada A, A·(adj A) = (adj A)·A = |A| I

De este modo, si | A| ≠ 0,

A^-1 = 1/|A| (Adjunta A)

Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro método la inversa de una matriz.

Ejemplo:

Consideremos la matriz

y

y el det A:

Así pues, aplicando la propiedad anterior:

A^-1 = 1/|A| (Adjunta A), obtenemos:

Ejercicio: cálculo de la matriz inversa

Calcular, por la propiedad anterior, la inversa de las siguientes matrices:

a)

b)

a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A:

El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B, así pues, los cofactores de los cuatro elementos de B son:

B₁₁ = 5
B₁₂ = -2

B₂₁ = 1
B₂₂ = 3

y el adjunto de B, denotado por adj B, será

Aplicando ahora la propiedad

b) Empezaremos por hallar el det A,

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A^-1:

Cálculo del rango de una matriz

Consideremos la matriz A = (a_ij):

1- El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A´ que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas la líneas (filas o columnas) cuyas entradas estén sólo formadas por ceros, es decir, que sean nulas.

2- Consideremos la matriz:

A₁ = (a₁₁, a₁₂, …, a_1n)

y supongamos que

a₁₁ ≠ 0,

entonces:

rango (A) ≥ rango(A₁) = 1

3- Añadimos filas de la matriz A a la matriz A₁ hasta encontrar una matriz que cumpla:

tal que posea un menor no nulo de la forma:

Por consiguiente,

rango (A) ≥ rango(A₂) = 2.

Si esto no hubiese sido posible, entonces:

rango (A) = 1.

Supongamos que rango (A) ≥ rango (A₂) y que i = 2 y j = 2.

4- Añadimos filas a la matriz A₂ hasta encontrar una matriz que cumpla:

de forma que posea un menor de orden tres de la forma:

Entonces:

rango (A) ≥ rango (A₂) = 3.

En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor, entonces:

rango (A) = rango (A₂) = 2.

Suponiendo que rango (A) ≥ rango (A₃) y que i = 3 y j = 3, se procedería como en los casos anteriores, y así sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A.

Ejemplos:

a) Sea la matriz A una matriz de orden tres. Hallar el rango (A).

Como A es una matriz cuadrada de orden tres, como máximo el rango (A) puede valer tres. Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A. Así pues

Ya que el resultado es cero, probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero. Si no encontramos ninguna, el rango (A) = 1.

Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo, podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2.

Añadimos ahora una columna y una fila más para ver si el rango puede ser tres:

Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres, el rango

(A) = 3.

No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz, ésta tiene que ser cuadrada. Así, en el siguiente ejemplo:

b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 × 4.

Como hay una determinante de orden dos no nulo, el rango de la matriz B es mayor o igual que 2. Calculamos a continuación los determinantes de orden superior:

Probamos con un segundo determinante de orden tres:

Así pues, como hay un determinante de orden tres que no es nulo, el rango (B) = 3. Un rango mayor que 3 no se puede hallar, ya que no se puede formar un determinante de orden 4. Recuérdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz, éstas tienen que ser cuadradas.