Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso. Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.
Aceptar

 
Titular top Mapa del sitio Ingresar Salir

Matrices y determinantes. Operaciones. AP11

Contenido: Adjunto de una matriz. Ejercicio: cálculo de la matriz inversa. Cálculo del rango de una matriz.

Matrices y determinantes

Adjunto de una matriz

Consideremos una matriz n-cuadrada A = (ax) sobre un cuerpo K. El adjunto de A, denotado por adj A, es la traspuesta de la matriz de cofactores de A:

adj A =

 

a11

a21

an1

 

a12

a22

an2

a1n

a2·n

anm

Ejemplo:

Sea A =

 

1

2

-1

 

0

-3

2

2

1

5

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

A11 = +

-3

2

= -17

1

5

A12 = -

0

2

= 4

2

5

A13 = +

0

-3

= 6

2

1

A21 = -

2

-1

= -11

1

5

A22 = +

1

-1

= 7

2

5

A23 = -

1

2

= 3

2

1

A31 = +

2

-1

= 1

-3

2

A32 = -

1

-1

= -2

0

2

A33 = +

1

2

= -3

0

-3

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

adj A =

 

-17

-11

1

 

4

7

-2

6

3

-3

Aplicación del adjunto para hallar la matriz inversa.

Para toda matriz cuadrada A, A·(adj A) = (adj A)·A = |A| I

De este modo, si |A| ≠ 0,

A-1 = 1/|A| (Adjunta A)

Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro método la inversa de una matriz.

Ejemplo:

Consideremos la matriz

A =

 

1

2

-1

 

0

-3

2

2

1

5

y

adj A =

 

-17

-11

1

 

4

7

-2

6

3

-3

y el det A:

det (A) =

1

2

-1

= -15 + 8 + 0 - 6 - 0 - 2 = -15 ≠ 0

0

-3

2

2

1

5

Así pues, aplicando la propiedad anterior:

A-1 = 1/|A| (Adjunta A), obtenemos:

A-1 = (-1/15)·

 

-17

-11

1

 

4

7

-2

6

3

-3

Ejemplo de cálculo de la matriz inversa

Ejemplo n° 1) Calcular, por la propiedad anterior, la inversa de las siguientes matrices:

a.

A =

 

1

2

 

2

4

y B =

 

3

-1

 

2

5

b.

A =

 

1

-3

2

 

2

5

0

0

-1

-2

a.

Primero hallaremos el determinante de la matriz A:

det A =

1

2

= 0; como el determinante es cero, no existe la inversa de la matriz A

2

4

det B =

3

-1

= 15 + 2 = 17

2

5

El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B, así pues, los cofactores de los cuatro elementos de B son:

B11 = 5
B12 = -2

B21 = 1
B22 = 3

y el adjunto de B, denotado por adj B, será

adj B =

 

5

1

 

-2

3

Aplicando ahora la propiedad

b.

Empezaremos por hallar el det A,

det A =

1

-3

2

= -10 - 4 - 12 = -26

2

5

0

0

-1

-2

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

A11 = +

5

0

= -10

-1

-2

A12 = -

2

0

= 4

0

-2

A13 = +

2

5

= -2

0

-1

A21 = -

-3

2

= -8

-1

-2

A22 = +

1

2

= -2

0

-2

A23 = -

1

-3

= 1

0

-1

A31 = +

-3

2

= -10

5

0

A32 = -

1

2

= 4

2

0

A33 = +

1

-3

= 11

2

5

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

adj A =

 

-10

-8

-10

 

4

-2

4

-2

1

11

Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1:

A-1 = 1/|A| (Adjunta A) = (-1/26)·

 

-10

-8

-10

 

= simplificando,

4

-2

4

-2

1

11

A-1 =

 

5/13

4/13

5/13

 

-2/13

1/13

-2/13

1/13

-1/26

-11/26

Cálculo del rango de una matriz

Consideremos la matriz A = (aij):

A =

 

a11

a12

a1n

 

a21

a22

a2·n

am1

am2

amn

1) El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A' que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas la líneas (filas o columnas) cuyas entradas estén sólo formadas por ceros, es decir, que sean nulas.

2) Consideremos la matriz:

A1 = (a11, a12, …, a1n)

Y supongamos que a11 ≠ 0, entonces:

Rango (A) ≥ rango (A1) = 1

3) Añadimos filas de la matriz A a la matriz A1 hasta encontrar una matriz que cumpla:

A2 =

 

a11

a1n

 

, donde (1 < i ≤ n),:

ai1

ain

Tal que posea un menor no nulo de la forma:

a11

a1j

≠ 0

ai1

aij

Por consiguiente,

rango (A) ≥ rango (A2) = 2.

Si esto no hubiese sido posible, entonces:

rango (A) = 1.

Supongamos que rango (A) ≥ rango (A2) y que i = 2 y j = 2.

4) Añadimos filas a la matriz A2 hasta encontrar una matriz que cumpla:

A3 =

 

a11

a12

a1j

 

a21

a22

a2j

ai1

ai1

aij

De forma que posea un menor de orden tres de la forma:

a11

a12

a1j

≠ 0

a21

a22

a2j

ai1

ai2

aij

Entonces:

rango (A) ≥ rango (A2) = 3.

En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor, entonces:

rango (A) = rango (A2) = 2.

Suponiendo que rango (A) ≥ rango (A3) y que i = 3 y j = 3, se procedería como en los casos anteriores, y así sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A.

Ejemplos:

a.

Sea la matriz A una matriz de orden tres. Hallar el rango (A).

A =

 

1

2

-5

 

3

6

5

0

-1

4

Como A es una matriz cuadrada de orden tres, como máximo el rango (A) puede valer tres. Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A. Así pues

1

2

= 6 - 6 = 0

3

6

Ya que el resultado es cero, probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero. Si no encontramos ninguna, el rango (A) = 1.

1

-5

= 2 - (-15) = 2 + 15 = 17 ≠ 0

3

2

Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo, podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2.

Añadimos ahora una columna y una fila más para ver si el rango puede ser tres:

1

2

-5

= 24 + 0 + 15 - 0 - 24 + 2 = 17 ≠ 0

3

6

2

0

-1

4

Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres, el rango

(A) = 3.

No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz, ésta tiene que ser cuadrada. Así, en el siguiente ejemplo:

b.

Calcular el rango de la matriz B de orden 3×4.

B =

 

1

-2

1

0

 

2

-4

2

-1

1

1

1

3

1

-2

= -4 + 4 = 0

2

-4

1

1

= 2 - 2 = 0

2

2

1

0

= -1 + 0 = -1 ≠ 0

2

-1

Como hay una determinante de orden dos no nulo, el rango de la matriz B es mayor o igual que 2. Calculamos a continuación los determinantes de orden superior:

1

-2

1

= -4 - 4 + 2 + 4 + 4 - 2 = 0

2

-4

2

1

1

1

Probamos con un segundo determinante de orden tres:

1

-2

0

= -12 + 2 + 0 + 0 + 12 + 1 = 3 ≠ 0

2

-4

-1

1

1

3

Así pues, como hay un determinante de orden tres que no es nulo, el rango (B) = 3. Un rango mayor que 3 no se puede hallar, ya que no se puede formar un determinante de orden 4. Recuérdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz, éstas tienen que ser cuadradas.

Copyright © 2.000-2.028 Fisicanet ® Todos los derechos reservados

https://www.fisicanet.com.ar/matematica/sistemas-ecuaciones/ap11-matrices-determinantes.php

Signos utilizados en las fórmulas y cálculos:

  • Signo separador de miles: punto (.)
  • Signo separador decimal: coma (,)
  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o × (para producto vectorial)
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

Si has utilizado el contenido de esta página, por favor, no olvides citar la fuente "Fisicanet ®".

Por favor, "copia y pega" el enlace completo a ésta página.

¡Gracias!