Matrices y determinantes

Adjunto de una matriz

Consideremos una matriz n-cuadrada A = (a_x) sobre un cuerpo K. El adjunto de A, denotado por adj A, es la traspuesta de la matriz de cofactores de A:

adj A =	a₁₁	a₂₁	…	a_n1
	a₁₂	a₂₂	…	a_n2
	…	…	…	…
	a_1n	a_2·n	…	a_nm

Ejemplo:

Sea A =	1	2	-1
	0	-3	2
	2	1	5

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

A₁₁ = +	-3	2	= -17
	1	5

A₁₂ = -	0	2	= 4
	2	5

A₁₃ = +	0	-3	= 6
	2	1

A₂₁ = -	2	-1	= -11
	1	5

A₂₂ = +	1	-1	= 7
	2	5

A₂₃ = -	1	2	= 3
	2	1

A₃₁ = +	2	-1	= 1
	-3	2

A₃₂ = -	1	-1	= -2
	0	2

A₃₃ = +	1	2	= -3
	0	-3

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

adj A =	-17	-11	1
	4	7	-2
	6	3	-3

Aplicación del adjunto para hallar la matriz inversa.

Para toda matriz cuadrada A, A·(adj A) = (adj A)·A = |A| I

De este modo, si |A| ≠ 0,

A^-1 = 1/|A| (Adjunta A)

Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro método la inversa de una matriz.

Ejemplo:

Consideremos la matriz

A =	1	2	-1
	0	-3	2
	2	1	5

adj A =	-17	-11	1
	4	7	-2
	6	3	-3

y el det A:

det (A) =	1	2	-1	= -15 + 8 + 0 - 6 - 0 - 2 = -15 ≠ 0
	0	-3	2
	2	1	5

Así pues, aplicando la propiedad anterior:

A^-1 = 1/|A| (Adjunta A), obtenemos:

A^-1 = (-1/15)·	-17	-11	1
	4	7	-2
	6	3	-3

Ejemplo de cálculo de la matriz inversa

Ejemplo n° 1

Calcular, por la propiedad anterior, la inversa de las siguientes matrices:

A =		1	2
		2	4

y B =		3	-1
		2	5

A =	1	-3	2
	2	5	0
	0	-1	-2

Primero hallaremos el determinante de la matriz A:

det A =	1	2	= 0; como el determinante es cero, no existe la inversa de la matriz A
	2	4

det B =	3	-1	= 15 + 2 = 17
	2	5

El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B, así pues, los cofactores de los cuatro elementos de B son:

B₁₁ = 5
B₁₂ = -2

B₂₁ = 1
B₂₂ = 3

y el adjunto de B, denotado por adj B, será

adj B =		5	1
		-2	3

Aplicando ahora la propiedad

Empezaremos por hallar el det A,

det A =	1	-3	2	= -10 - 4 - 12 = -26
	2	5	0
	0	-1	-2

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

A₁₁ = +	5	0	= -10
	-1	-2

A₁₂ = -	2	0	= 4
	0	-2

A₁₃ = +	2	5	= -2
	0	-1

A₂₁ = -	-3	2	= -8
	-1	-2

A₂₂ = +	1	2	= -2
	0	-2

A₂₃ = -	1	-3	= 1
	0	-1

A₃₁ = +	-3	2	= -10
	5	0

A₃₂ = -	1	2	= 4
	2	0

A₃₃ = +	1	-3	= 11
	2	5

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

adj A =	-10	-8	-10
	4	-2	4
	-2	1	11

Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A^-1:

A^-1 = 1/\|A\| (Adjunta A) = (-1/26)·	-10	-8	-10	= simplificando,
	4	-2	4
	-2	1	11

A^-1 =	5/13	4/13	5/13
	-2/13	1/13	-2/13
	1/13	-1/26	-11/26

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Autor: Jesús

España.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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