Fisicanet ®

Matrices y determinantes

Adjunto de una matriz

Consideremos una matriz n-cuadrada A = (ax) sobre un cuerpo K. El adjunto de A, denotado por adj A, es la traspuesta de la matriz de cofactores de A:

adj A = a11a21an1 
a12a22an2
a1na2·nanm

Ejemplo:

Sea A = 12-1 
0-32
215

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

A11 = +-32= -17
15
A12 = -02= 4
25
A13 = +0-3= 6
21
A21 = -2-1= -11
15
A22 = +1-1= 7
25
A23 = -12= 3
21
A31 = +2-1= 1
-32
A32 = -1-1= -2
02
A33 = +12= -3
0-3

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

adj A = -17-111 
47-2
63-3

Aplicación del adjunto para hallar la matriz inversa.

Para toda matriz cuadrada A, A·(adj A) = (adj A)·A = |A| I

De este modo, si |A| ≠ 0,

A-1 = 1/|A| (Adjunta A)

Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro método la inversa de una matriz.

Ejemplo:

Consideremos la matriz

A = 12-1 
0-32
215

y

adj A = -17-111 
47-2
63-3

y el det A:

det (A) =12-1= -15 + 8 + 0 - 6 - 0 - 2 = -15 ≠ 0
0-32
215

Así pues, aplicando la propiedad anterior:

A-1 = 1/|A| (Adjunta A), obtenemos:

A-1 = (-1/15)· -17-111 
47-2
63-3

Ejemplo de cálculo de la matriz inversa

Ejemplo n° 1

Calcular, por la propiedad anterior, la inversa de las siguientes matrices:

a.

A = 12 
24
y B = 3-1 
25

b.

A = 1-32 
250
0-1-2

a.

Primero hallaremos el determinante de la matriz A:

det A =12= 0; como el determinante es cero, no existe la inversa de la matriz A
24
det B =3-1= 15 + 2 = 17
25

El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B, así pues, los cofactores de los cuatro elementos de B son:

B11 = 5
B12 = -2

B21 = 1
B22 = 3

y el adjunto de B, denotado por adj B, será

adj B = 51 
-23

Aplicando ahora la propiedad

B-1 =1·(adj B)
|B|
B-1 =1· 51 = 5/171/17 
17-23-2/173/17

b.

Empezaremos por hallar el det A,

det A =1-32= -10 - 4 - 12 = -26
250
0-1-2

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

A11 = +50= -10
-1-2
A12 = -20= 4
0-2
A13 = +25= -2
0-1
A21 = --32= -8
-1-2
A22 = +12= -2
0-2
A23 = -1-3= 1
0-1
A31 = +-32= -10
50
A32 = -12= 4
20
A33 = +1-3= 11
25

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

adj A = -10-8-10 
4-24
-2111

Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1:

A-1 = 1/|A| (Adjunta A) = (-1/26)· -10-8-10 = simplificando,
4-24
-2111
A-1 = 5/134/135/13 
-2/131/13-2/13
1/13-1/26-11/26

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

Actualizado:

Ver condiciones para uso de los contenidos de fisicanet.com.ar

Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso.

Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.