Adjunto de una matriz
Consideremos una matriz n-cuadrada A = (aₓ) sobre un cuerpo K. El adjunto de A, denotado por adj A, es la traspuesta de la matriz de cofactores de A:
adj A = | | a₁₁ | a₂₁ | … | aₙ₁ | |
a₁₂ | a₂₂ | … | aₙ₂ |
… | … | … | … |
a₁ₙ | a₂.ₙ | … | aₙₘ |
Ejemplo:
Los cofactores de los nueve elementos de A son:
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:
Aplicación del adjunto para hallar la matriz inversa.
Para toda matriz cuadrada A, A·(adj A) = (adj A)·A = |A| I
De este modo, si |A| ≠ 0,
A⁻¹ = 1/|A| (Adjunta A)
Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro método la inversa de una matriz.
Ejemplo:
Consideremos la matriz
y
y el det A:
det (A) = | 1 | 2 | -1 | = -15 + 8 + 0 - 6 - 0 - 2 = -15 ≠ 0 |
0 | -3 | 2 |
2 | 1 | 5 |
Así pues, aplicando la propiedad anterior:
A⁻¹ = 1/|A| (Adjunta A), obtenemos:
A⁻¹ = (-1/15)· | | -17 | -11 | 1 | |
4 | 7 | -2 |
6 | 3 | -3 |
Ejemplo de cálculo de la matriz inversa
Ejemplo n° 1
Calcular, por la propiedad anterior, la inversa de las siguientes matrices:
a)
b)
a)
Primero hallaremos el determinante de la matriz A:
Como el determinante es cero, no existe la inversa de la matriz A
det B = | 3 | -1 | = 15 + 2 = 17 |
2 | 5 |
El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B, así pues, los cofactores de los cuatro elementos de B son:
B₁₁ = 5
B₁₂ = -2
B₂₁ = 1
B₂₂ = 3
y el adjunto de B, denotado por adj B, será
Aplicando ahora la propiedad
B⁻¹ = | 1 | · | | 5 | 1 | | = | | 5/17 | 1/17 | |
17 | -2 | 3 | -2/17 | 3/17 |
b)
Empezaremos por hallar el det A,
det A = | 1 | -3 | 2 | = -10 - 4 - 12 = -26 |
2 | 5 | 0 |
0 | -1 | -2 |
Los cofactores de los nueve elementos de A son:
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:
adj A = | | -10 | -8 | -10 | |
4 | -2 | 4 |
-2 | 1 | 11 |
Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A⁻¹:
A⁻¹ = 1/|A| (Adjunta A)
A⁻¹ = (-1/26)· | | -10 | -8 | -10 | | = |
4 | -2 | 4 |
-2 | 1 | 11 |
Simplificando:
A⁻¹ = | | 5/13 | 4/13 | 5/13 | |
-2/13 | 1/13 | -2/13 |
1/13 | -1/26 | -11/26 |
Autor: . España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).