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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales

Problema n° 1-f de sistemas de ecuaciones con dos incágnitas

Enunciado del ejercicio n° 1-f

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por los métodos de:

I) Igualación

II) Sustitución

III) Reducción

IV) Determinantes

V) Graficar

x/5 - y = -2
4·x + y/4 = 41

Solución

Sumamos las fracciones en ambas ecuaciones y obtenemos un sistema equivalente para facilitar las operaciones:

x/5 - y = -2
4·x + y/4 = 41

(x - 5·y)/5 = -2
(4·4·x + y)/4 = 41

x - 5·y = 5·(-2)
4·4·x + y = 4·41

x - 5·y = -10
16·x + y = 164

I) Igualación

x - 5·y = -10
16·x + y = 164

Despejamos "y" en ambas ecuaciones:

y =x + 10
5

y = -16·x + 164

Igualamos y resolvemos:

x + 10= -16·x + 164
5

x + 10 = 5·(-16·x + 164)

x + 10 = -80·x + 820

Despejamos "x":

x + 80·x = 820 - 10

81·x = 810

x =810
81

x = 10

Reemplazamos "x" en la segunda ecuación y calculamos "y":

y = -16·x + 164

y = -16·10 + 164

y = -160 + 164

y = 4

Resultado aplicando el método de igualación:

x = 10

y = 4

II) Sustitución

x - 5·y = -10
16·x + y = 164

Despejamos "y" de la primera ecuación:

y =x + 10
5

Sustituimos "y" en la segunda ecuación:

16·x +x + 10= 164
5

Resolvemos:

5·16·x + x + 10= 164
5

80·x + x + 10 = 5·164

Despejamos "x":

81·x = 820 - 10

81·x = 810

x =810
81

x = 10

Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":

16·x + y = 164

16·10 + y = 164

160 + y = 164

y = 164 - 160

y = 4

Resultado aplicando el método de sustitución:

x = 10

y = 4

III) Reducción

x - 5·y = -10
16·x + y = 164

Multiplicamos la segunda ecuación por 5 y la sumamos a la primera:

x - 5·y = -10
5·(16·x + y) = 5·164

x - 5·y = -10
80·x + 5·y = 820

x + 80·x = -10 + 820

Despejamos "x":

81·x = 810

x =810
81

x = 10

Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":

x - 5·y = -10

10 - 5·y = -10

-5·y = -10 - 10

-5·y = -20

y =-20
-5

y = 4

Resultado aplicando el método de reducción:

x = 10

y = 4

IV) Determinantes

x - 5·y = -10
16·x + y = 164

x =Δx
Δ
y =Δy
Δ

Primero calculamos el determinante del sistema:

Δ =1-5
161

Δ = 1·1 - (-5)·16

Δ = 1 + 80

Δ = 81

Hallamos los determinantes de las incógnitas:

Δx =-10-5
1641

Δx = (-10)·1 - (-5)·164

Δx = -10 + 820

Δx = 810

Δy =1-10
16164

Δy = 1·164 - (-10)·16

Δy = 164 + 160

Δy = 324

Calculamos las incógnitas "x" e "y":

x =Δx
Δ
x =810
81

x = 10

y =Δy
Δ
y =324
81

y = 4

Resultado aplicando el método de determinantes:

x = 10

y = 4

Resultado, el punto de intersección es:

P(10; 4)

V) Gráfica

Despejamos "y" de ambas ecuaciones para obtener la ordenada al origen (b) y la pendiente (m) de las rectas:

y =x+10
55
y =x+ 2
5
m1 =1
5

b1 = 2

y = -16·x + 164

m2 = - 16
1

b2 = 164

Gráfica de las rectas

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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