Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales
Problema n° 1-e de sistemas de ecuaciones con dos incágnitas
Enunciado del ejercicio n° 1-e
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por los métodos de:
I) Igualación
II) Sustitución
III) Reducción
IV) Determinantes
V) Graficar
5·x - 4·y = 2
2·x + 3·y = 17/4
Solución
I) Igualación
5·x - 4·y = 2
2·x + 3·y = 17/4
Despejamos "y" en ambas ecuaciones:
| y = | 5·x - 2 |
| 4 |
4·(2·x + 3·y) = 17
8·x + 12·y = 17
| y = | -8·x + 17 |
| 12 |
Igualamos y resolvemos:
| 5·x - 2 | = | -8·x + 17 |
| 4 | 12 |
12·(5·x - 2) = 4·(-8·x + 17)
3·(5·x - 2) = -8·x + 17
15·x - 6 = -8·x + 17
Despejamos "x":
15·x + 8·x = 17 + 6
23·x = 23
x = 1
Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":
| y = | 5·x - 2 |
| 4 |
| y = | 5·1 - 2 |
| 4 |
| y = | 5 - 2 |
| 4 |
| y = | 3 |
| 4 |
Resultado aplicando el método de igualación:
x = 1
y = ¾
II) Sustitución
5·x - 4·y = 2
2·x + 3·y = 17/4
5·x - 4·y = 2
8·x + 12·y = 17
Despejamos "y" de la primera ecuación:
| y = | 5·x - 2 |
| 4 |
Sustituimos "y" en la segunda ecuación:
8·x + 12·y = 17
8·x + 12· | 5·x - 2 | = 17 |
| 4 |
Resolvemos:
8·x + 3·(5·x - 2) = 17
8·x + 15·x - 6 = 17
Despejamos "x":
23·x = 17 + 6
23·x = 23
x = 1
Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":
5·x - 4·y = 2
5·1 - 4·y = 2
5 - 4·y = 2
-4·y = 2 - 5
-4·y = -3
| y = | -3 |
| -4 |
y = ¾
Resultado aplicando el método de sustitución:
x = 1
y = ¾
III) Reducción
5·x - 4·y = 2
2·x + 3·y = 17/4
5·x - 4·y = 2
8·x + 12·y = 17
Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la sumamos a la segunda:
3·(5·x - 4·y) = 3·2
8·x + 12·y = 17
15·x - 12·y = 6
8·x + 12·y = 17
15·x + 8·x = 6 + 17
Despejamos "x":
23·x = 23
x = 1
Reemplazamos "x" en la segunda ecuación y calculamos "y":
8·x + 12·y = 17
8·1 + 12·y = 17
8 + 12·y = 17
12·y = 17 - 8
12·y = 9
| y = | 9 |
| 12 |
y = ¾
Resultado aplicando el método de reducción:
x = 1
y = ¾
IV) Determinantes
5·x - 4·y = 2
2·x + 3·y = 17/4
5·x - 4·y = 2
8·x + 12·y = 17
| x = | Δx |
| Δ |
| y = | Δy |
| Δ |
Primero calculamos el determinante del sistema:
| Δ = | 5 | -4 |
| 8 | 12 |
Δ = 5·12 - (-4)·8
Δ = 60 + 32
Δ = 92
Hallamos los determinantes de las incógnitas:
| Δx = | 2 | -4 |
| 17 | 12 |
Δx = 2·12 - (-4)·17
Δx = 24 + 68
Δx = 92
| Δy = | 5 | 2 |
| 8 | 17 |
Δy = 5·17 - 2·8
Δy = 85 - 16
Δy = 69
Calculamos las incógnitas "x" e "y":
| x = | Δx |
| Δ |
| x = | 92 |
| 92 |
x = 1
| y = | Δy |
| Δ |
| y = | 69 |
| 92 |
y = ¾
Resultado aplicando el método de determinantes:
x = 1
y = ¾
Resultado, el punto de intersección es:
P(1; ¾)
V) Gráfica
Despejamos "y" de ambas ecuaciones para obtener la ordenada al origen (b) y la pendiente (m) de las rectas:
| y = | 5·x | - | 2 |
| 4 | 4 |
| y = | 5·x | - | 1 |
| 4 | 2 |
| m1 = | 5 |
| 4 |
| b1 = - | 1 |
| 2 |
| y = | -8·x | + | 17 |
| 12 | 12 |
| y = | -2·x | + | 17 |
| 3 | 12 |
| m2 = - | 2 |
| 3 |
| b2 = | 17 |
| 12 |
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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