Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales
Problema n° 1-h de sistemas de ecuaciones con dos incágnitas - TP01
Enunciado del ejercicio n° 1-h
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por los métodos de:
I) Igualación
II) Sustitución
III) Reducción
IV) Determinantes
V) Graficar
4·x - 8·y = 44
2·x + 4·y = 22
Solución
Dividimos ambos miembros de la primera ecuación por 4 y dividimos ambos miembros de la segunda ecuación por 2:
(4·x - 8·y)÷4 = 44÷4
(2·x + 4·y)÷2 = 22÷2
x - 2·y = 11
x + 2·y = 11
I) Igualación
x - 2·y = 11
x + 2·y = 11
Despejamos "y" en ambas ecuaciones:
| y = | x - 11 |
| 2 |
| y = | -x + 11 |
| 2 |
Igualamos y resolvemos:
| x - 11 | = | -x + 11 |
| 2 | 2 |
2·(x - 11) = 2·(-x + 11)
x - 11 = -x + 11
Despejamos "x":
x + x = 11 + 11
2·x = 22
| x = | 22 |
| 2 |
x = 11
Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":
| y = | x - 11 |
| 2 |
| y = | 11 - 11 |
| 2 |
| y = | 0 |
| 2 |
y = 0
Resultado aplicando el método de igualación:
x = 11
y = 0
II) Sustitución
x - 2·y = 11
x + 2·y = 11
Despejamos "y" de la primera ecuación:
| y = | x - 11 |
| 2 |
Sustituimos "y" en la segunda ecuación:
x + 2·y = 11
| x + 2· | x - 11 | = 11 |
| 2 |
Resolvemos:
x + x - 11 = 11
x + x = 11 + 11
Despejamos "x":
2·x = 22
| x = | 22 |
| 2 |
x = 11
Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":
x - 2·y = 11
11 - 2·y = 11
-2·y = 0
y = 0
Resultado aplicando el método de sustitución:
x = 11
y = 0
III) Reducción
x - 2·y = 11
x + 2·y = 11
Sumamos ambas ecuaciones:
x + x = 11 + 11
2·x = 22
Despejamos "x":
| x = | 22 |
| 2 |
x = 11
Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":
x - 2·y = 11
11 - 2·y = 11
-2·y = 0
y = 0
Resultado aplicando el método de reducción:
x = 11
y = 0
IV) Determinantes
x - 2·y = 11
x + 2·y = 11
| x = | Δx |
| Δ |
| y = | Δy |
| Δ |
Primero calculamos el determinante del sistema:
| Δ = | 1 | -2 |
| 1 | 2 |
Δ = 1·2 - (-2)·1
Δ = 2 + 2
Δ = 4
Hallamos los determinantes de las incógnitas:
| Δx = | 11 | -2 |
| 11 | 2 |
Δx = 11·2 - (-2)·11
Δx = 22 + 22
Δx = 44
| Δy = | 1 | 11 |
| 1 | 11 |
Δy = 11·1 - 11·1
Δy = 11 - 11
Δy = 0
Calculamos las incógnitas "x" e "y":
| x = | Δx |
| Δ |
| x = | 44 |
| 4 |
x = 11
| y = | Δy |
| Δ |
| y = | 0 |
| 4 |
y = 0
Resultado aplicando el método de determinantes:
x = 11
y = 0
Resultado, el punto de intersección es:
P(11; 0)
V) Gráfica
Despejamos "y" de ambas ecuaciones para obtener la ordenada al origen (b) y la pendiente (m) de las rectas:
| y = | x | - | 11 |
| 2 | 2 |
| m1 = | 1 |
| 2 |
| b1 = - | 11 |
| 2 |
| y = | -x | + | 11 |
| 2 | 2 |
| m2 = - | 1 |
| 2 |
| b2 = | 11 |
| 2 |
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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