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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales

Problema n° 1-i de sistemas de ecuaciones con dos incágnitas

Enunciado del ejercicio n° 1-i

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por los métodos de:

I) Igualación

II) Sustitución

III) Reducción

IV) Determinantes

V) Graficar

22·x - 3·y = 0
4·x - y/3 = 14

Solución

Multiplicamos ambos términos de la segunda ecuación por 3:

22·x - 3·y = 0
4·x - y/3 = 14

22·x - 3·y = 0
3·(4·x - y/3) = 3·14

22·x - 3·y = 0
12·x - y = 42

I) Igualación

22·x - 3·y = 0
12·x - y = 42

Despejamos "y" en ambas ecuaciones:

y =22·x
3

y = 12·x - 42

Igualamos y resolvemos:

12·x - 42 =22·x
3

3·(12·x - 42) = 22·x

36·x - 126 = 22·x

Despejamos "x":

36·x - 22·x = 126

14·x = 126

x =126
14
x =63
7

x = 9

Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":

y =22·x
3
y =22·9
3

y = 22·3

y = 66

Resultado aplicando el método de igualación:

x = 9

y = 66

II) Sustitución

22·x - 3·y = 0
12·x - y = 42

Despejamos "y" de la primera ecuación:

y =22·x
3

Sustituimos "y" en la segunda ecuación:

12·x -22·x= 42
3

Resolvemos:

3·12·x - 22·x = 3·42

36·x - 22·x = 126

14·x = 126

x =126
14
x =63
7

x = 9

Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":

22·x - 3·y = 0

22·9 - 3·y = 0

198 - 3·y = 0

y =198
3

y = 66

Resultado aplicando el método de sustitución:

x = 9

y = 66

III) Reducción

22·x - 3·y = 0
12·x - y = 42

Multiplicamos ambos términos de la segunda ecuación por -3 y la sumamos a la primera:

22·x - 3·y = 0
-3·(12·x - y) = -3·42

22·x - 3·y = 0
-36·x + 3·y = -126

22·x - 36·x = -126

-14·x = -126

Despejamos "x":

x =-126
-14

x = 9

Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":

22·x - 3·y = 0

22·9 - 3·y = 0

198 - 3·y = 0

y =198
3

y = 66

Resultado aplicando el método de reducción:

x = 9

y = 66

IV) Determinantes

22·x - 3·y = 0
12·x - y = 42

x =Δx
Δ
y =Δy
Δ

Primero calculamos el determinante del sistema:

Δ =22-3
12-1

Δ = 22·(-1) - (-3)·12

Δ = -22 + 36

Δ = 14

Hallamos los determinantes de las incógnitas:

Δx =0-3
42-1

Δx = 0·(-1) - (-3)·42

Δx = 0 + 126

Δx = 126

Δy =220
1242

Δy = 22·42 - 0·12

Δy = 924 - 0

Δy = 924

Calculamos las incógnitas "x" e "y":

x =Δx
Δ
x =126
14

x = 9

y =Δy
Δ
y =924
14

y = 66

Resultado aplicando el método de determinantes:

x = 9

y = 66

Resultado, el punto de intersección es:

P(9; 66)

V) Gráfica

Despejamos "y" de ambas ecuaciones para obtener la ordenada al origen (b) y la pendiente (m) de las rectas:

y =22·x
3
m1 =22
3

b1 = 0

y = 12·x - 42

m2 =12
1

b2 = -42

Gráfica de las rectas

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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