Problema n° 1-i de sistemas de ecuaciones con dos incágnitas, lineales - TP01
Enunciado del ejercicio n° 1-i
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por los métodos de:
I) Igualación
II) Sustitución
III) Reducción
IV) Determinantes
V) Graficar
22·x - 3·y = 0
4·x - y/3 = 14
Solución
Multiplicamos ambos términos de la segunda ecuación por 3:
22·x - 3·y = 0
4·x - y/3 = 14
22·x - 3·y = 0
3·(4·x - y/3) = 3·14
22·x - 3·y = 0
12·x - y = 42
I) Igualación
22·x - 3·y = 0
12·x - y = 42
Despejamos "y" en ambas ecuaciones:
| y = | 22·x |
| 3 |
y = 12·x - 42
Igualamos y resolvemos:
| 12·x - 42 = | 22·x |
| 3 |
3·(12·x - 42) = 22·x
36·x - 126 = 22·x
Despejamos "x":
36·x - 22·x = 126
14·x = 126
| x = | 126 |
| 14 |
| x = | 63 |
| 7 |
x = 9
Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":
| y = | 22·x |
| 3 |
| y = | 22·9 |
| 3 |
y = 22·3
y = 66
Resultado aplicando el método de igualación:
x = 9
y = 66
II) Sustitución
22·x - 3·y = 0
12·x - y = 42
Despejamos "y" de la primera ecuación:
| y = | 22·x |
| 3 |
Sustituimos "y" en la segunda ecuación:
| 12·x - | 22·x | = 42 |
| 3 |
Resolvemos:
3·12·x - 22·x = 3·42
36·x - 22·x = 126
14·x = 126
| x = | 126 |
| 14 |
| x = | 63 |
| 7 |
x = 9
Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":
22·x - 3·y = 0
22·9 - 3·y = 0
198 - 3·y = 0
| y = | 198 |
| 3 |
y = 66
Resultado aplicando el método de sustitución:
x = 9
y = 66
III) Reducción
22·x - 3·y = 0
12·x - y = 42
Multiplicamos ambos términos de la segunda ecuación por -3 y la sumamos a la primera:
22·x - 3·y = 0
-3·(12·x - y) = -3·42
22·x - 3·y = 0
-36·x + 3·y = -126
22·x - 36·x = -126
-14·x = -126
Despejamos "x":
| x = | -126 |
| -14 |
x = 9
Reemplazamos "x" en la primera ecuación y calculamos "y":
22·x - 3·y = 0
22·9 - 3·y = 0
198 - 3·y = 0
| y = | 198 |
| 3 |
y = 66
Resultado aplicando el método de reducción:
x = 9
y = 66
IV) Determinantes
22·x - 3·y = 0
12·x - y = 42
| x = | Δₓ |
| Δ |
| y = | Δy |
| Δ |
Primero calculamos el determinante del sistema:
| Δ = | 22 | -3 |
| 12 | -1 |
Δ = 22·(-1) - (-3)·12
Δ = -22 + 36
Δ = 14
Hallamos los determinantes de las incógnitas:
| Δₓ = | 0 | -3 |
| 42 | -1 |
Δₓ = 0·(-1) - (-3)·42
Δₓ = 0 + 126
Δₓ = 126
| Δy = | 22 | 0 |
| 12 | 42 |
Δy = 22·42 - 0·12
Δy = 924 - 0
Δy = 924
Calculamos las incógnitas "x" e "y":
| x = | Δₓ |
| Δ |
| x = | 126 |
| 14 |
x = 9
| y = | Δy |
| Δ |
| y = | 924 |
| 14 |
y = 66
Resultado aplicando el método de determinantes:
x = 9
y = 66
Resultado, el punto de intersección es:
P(9; 66)
V) Gráfica
Despejamos "y" de ambas ecuaciones para obtener la ordenada al origen (b) y la pendiente (m) de las rectas:
| y = | 22·x |
| 3 |
| m₁ = | 22 |
| 3 |
b₁ = 0
y = 12·x - 42
| m₂ = | 12 |
| 1 |
b₂ = -42
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales