Vectores

4° parte

• Nota: En éste trabajo las letras con una raya arriba representan un vector, por ejemplo a es el vector a.

Cálculo del producto escalar entre vectores

Puesto que a·b = |a|·| b|·cos α, parece sencillo calcular a·b, pero en la práctica puede resultar complicado conocer el módulo de los vectores y el ángulo que forman.

En general, resulta más sencillo calcular el producto escalar de dos vectores conociendo sus coordenadas respecto de una base y los productos escalares de los vectores que forman dicha base.

Supóngase que se tienen dos vectores x e y que respecto a una base {u₁, u₂} del plano tienen coordenadas (x₁, x₂) e (y₁, y₂), es decir:

x = x₁·u₁ + x₂·u₂

y = y₁·u₁ + y₂·u₂

Además,

u₁·u₁ = a

u₁·u₂ = u₂·u₁ = b

u₂·u₂ = c

El producto escalar de x e y será entonces (se aplican las propiedades distributivas respecto de la suma y de linealidad)

x·y = (x₁·u₁ + x₂·u₂)·(y₁·u₁ + y₂·u₂)

x·y = (x₁·u₁)·(y₁·u₁) + (x₁·u₁)·(y₂·u₂) + (x₂·u₂)·(y₁·u₁) + (x₂·u₂)·(y₂·u₂)

x·y = x₁·y₁·(u₁·u₁) + x₁·y₂·(u₁·u₂) + x₂·y₁·(u₂·u₁) + x₂·y₂·(u₂·u₂)

x·y = x₁·y₁·a + x₁·y₂·b + x₂·y₁·b + x₂·y₂·c

x·y = x₁·y₁·a + (x₁·y₂ + x₂·y₁)·b + x₂·y₂·c

Ejemplo de cálculo del producto escalar de dos vectores

Ejemplo n° 1) Hallar el producto escalar de los vectores a = 2 u₁ + 3 u₂ y b = 4 u₁ - u₂, donde {u₁, u₂} es una base del plano en la que |u₁| = 2, |u₂| = 1 y ambos vectores, u₁ y u₂, forman un ángulo de 60°.

Solución

a·b = (2·u₁ + 3·u₂)·(4·u₁ - u₂) = 8·(u₁·u₁) + 10·(u₁·u₂) - 3·(u₂·u₂)

u₁·u₁ = |u₁|² = 4

u₁·u₂ = u₂·u₁ = |u₁|·|u₂|·cos 60° = 2·1·½ = 1

u₂·u₂ = |u₂|² = 1

a·b = 8·4 + 10·1 - 3·1 = 32 + 10 - 3 = 39

Cálculo del módulo de un vector

Para hallar el módulo de un vector se puede aplicar la última propiedad vista para el producto escalar.

Como a·a = |a|², el módulo de a es:

|a| = √a·a

Cálculo del ángulo formado por dos vectores

Como a·b = |a|·|b|·cos α, despejando se obtiene: