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Vectores

4° parte

• Nota: En éste trabajo las letras con una raya arriba representan un vector, por ejemplo ā es el vector a.

Cálculo del producto escalar entre vectores

Puesto que ā·b = |ā|·| b|·cos α, parece sencillo calcular ā·b, pero en la práctica puede resultar complicado conocer el módulo de los vectores y el ángulo que forman.

En general, resulta más sencillo calcular el producto escalar de dos vectores conociendo sus coordenadas respecto de una base y los productos escalares de los vectores que forman dicha base.

Supóngase que se tienen dos vectores x e y que respecto a una base {ŭ1, ŭ2} del plano tienen coordenadas (x1, x2) e (y1, y2), es decir:

x = x1·ŭ1 + x2·ŭ2

y = y1·ŭ1 + y2·ŭ2

Además,

ŭ1·ŭ1 = a

ŭ1·ŭ2 = ŭ2·ŭ1 = b

ŭ2·ŭ2 = c

El producto escalar de x e y será entonces (se aplican las propiedades distributivas respecto de la suma y de linealidad)

x·y = (x1·ŭ1 + x2·ŭ2)·(y1·ŭ1 + y2·ŭ2)

x·y = (x1·ŭ1)·(y1·ŭ1) + (x1·ŭ1)·(y2·ŭ2) + (x2·ŭ2)·(y1·ŭ1) + (x2·ŭ2)·(y2·ŭ2)

x·y = x1·y1·(ŭ1·ŭ1) + x1·y2·(ŭ1·ŭ2) + x2·y1·(ŭ2·ŭ1) + x2·y2·(ŭ2·ŭ2)

x·y = x1·y1·a + x1·y2·b + x2·y1·b + x2·y2·c

x·y = x1·y1·a + (x1·y2 + x2·y1)·b + x2·y2·c

Ejemplo de cálculo del producto escalar de dos vectores

Ejemplo n° 1

Hallar el producto escalar de los vectores ā = 2·ŭ1 + 3·ŭ2 y b = 4·ŭ1 - ŭ2, donde {ŭ1, ŭ2} es una base del plano en la que |ŭ1| = 2, |ŭ2| = 1 y ambos vectores, ŭ1 y ŭ2, forman un ángulo de 60°.

Solución

ā·b = (2·ŭ1 + 3·ŭ2)·(4·ŭ1 - ŭ2) = 8·(ŭ1·ŭ1) + 10·(ŭ1·ŭ2) - 3·(ŭ2·ŭ2)

ŭ1·ŭ1 = |ŭ1|² = 4

ŭ1·ŭ2 = ŭ2·ŭ1 = |ŭ1|·|ŭ2|·cos 60° = 2·1·½ = 1

ŭ2·ŭ2 = |ŭ2|² = 1

ā·b = 8·4 + 10·1 - 3·1 = 32 + 10 - 3 = 39

Cálculo del módulo de un vector

Para hallar el módulo de un vector se puede aplicar la última propiedad vista para el producto escalar.

Como ā·ā = |ā|², el módulo de ā es:

|ā| = a·a

Cálculo del ángulo formado por dos vectores

Como ā·b = |ā|·|b|·cos α, despejando se obtiene:

cos α =ā·b=ā·b
|ā|·|b|ā·ā·b·b

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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¿Qué es el producto escalar entre vectores?

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