Vectores
4° parte
• Nota: En éste trabajo las letras con una raya arriba representan un vector, por ejemplo ā es el vector a.
Cálculo del producto escalar entre vectores
Puesto que ā·b = |ā|·| b|·cos α, parece sencillo calcular ā·b, pero en la práctica puede resultar complicado conocer el módulo de los vectores y el ángulo que forman.
En general, resulta más sencillo calcular el producto escalar de dos vectores conociendo sus coordenadas respecto de una base y los productos escalares de los vectores que forman dicha base.
Supóngase que se tienen dos vectores x e y que respecto a una base {ŭ1, ŭ2} del plano tienen coordenadas (x1, x2) e (y1, y2), es decir:
x = x1·ŭ1 + x2·ŭ2
y = y1·ŭ1 + y2·ŭ2
Además,
ŭ1·ŭ1 = a
ŭ1·ŭ2 = ŭ2·ŭ1 = b
ŭ2·ŭ2 = c
El producto escalar de x e y será entonces (se aplican las propiedades distributivas respecto de la suma y de linealidad)
x·y = (x1·ŭ1 + x2·ŭ2)·(y1·ŭ1 + y2·ŭ2)
x·y = (x1·ŭ1)·(y1·ŭ1) + (x1·ŭ1)·(y2·ŭ2) + (x2·ŭ2)·(y1·ŭ1) + (x2·ŭ2)·(y2·ŭ2)
x·y = x1·y1·(ŭ1·ŭ1) + x1·y2·(ŭ1·ŭ2) + x2·y1·(ŭ2·ŭ1) + x2·y2·(ŭ2·ŭ2)
x·y = x1·y1·a + x1·y2·b + x2·y1·b + x2·y2·c
x·y = x1·y1·a + (x1·y2 + x2·y1)·b + x2·y2·c
Ejemplo de cálculo del producto escalar de dos vectores
Ejemplo n° 1
Hallar el producto escalar de los vectores ā = 2·ŭ1 + 3·ŭ2 y b = 4·ŭ1 - ŭ2, donde {ŭ1, ŭ2} es una base del plano en la que |ŭ1| = 2, |ŭ2| = 1 y ambos vectores, ŭ1 y ŭ2, forman un ángulo de 60°.
Solución
ā·b = (2·ŭ1 + 3·ŭ2)·(4·ŭ1 - ŭ2) = 8·(ŭ1·ŭ1) + 10·(ŭ1·ŭ2) - 3·(ŭ2·ŭ2)
ŭ1·ŭ1 = |ŭ1|² = 4
ŭ1·ŭ2 = ŭ2·ŭ1 = |ŭ1|·|ŭ2|·cos 60° = 2·1·½ = 1
ŭ2·ŭ2 = |ŭ2|² = 1
ā·b = 8·4 + 10·1 - 3·1 = 32 + 10 - 3 = 39
Cálculo del módulo de un vector
Para hallar el módulo de un vector se puede aplicar la última propiedad vista para el producto escalar.
Como ā·ā = |ā|², el módulo de ā es:
|ā| = √a·a
Cálculo del ángulo formado por dos vectores
Como ā·b = |ā|·|b|·cos α, despejando se obtiene:
| cos α = | ā·b | = | ā·b |
| |ā|·|b| | √ā·ā·√b·b |
Autor: Patricia Bati
Argentina.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
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¿Qué es el producto escalar entre vectores?