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Producto escalar entre vectores. AP04

Contenido: Cálculo del módulo de un vector. Cálculo del ángulo formado por dos vectores. ¿Qué es el producto escalar entre vectores?

Vectores

4° parte

Nota: En éste trabajo las letras con una raya arriba representan un vector, por ejemplo a es el vector a.

Cálculo del producto escalar entre vectores

Puesto que a·b = |a|·| b|·cos α, parece sencillo calcular a·b, pero en la práctica puede resultar complicado conocer el módulo de los vectores y el ángulo que forman.

En general, resulta más sencillo calcular el producto escalar de dos vectores conociendo sus coordenadas respecto de una base y los productos escalares de los vectores que forman dicha base.

Supóngase que se tienen dos vectores x e y que respecto a una base {u1,u2} del plano tienen coordenadas (x1, x2) e (y1, y2), es decir:

x = x1·u1 + x2·u2

y = y1·u1 + y2·u2

Además,

u1·u1 = a

u1·u2 = u2·u1 = b

u2·u2 = c

El producto escalar de x e y será entonces (se aplican las propiedades distributivas respecto de la suma y de linealidad)

x·y = (x1·u1 + x2·u2)·(y1·u1 + y2·u2)

x·y = (x1·u1)·(y1·u1) + (x1·u1)·(y2·u2) + (x2·u2)·(y1·u1) + (x2·u2)·(y2·u2)

x·y = x1·y1·(u1·u1) + x1·y2·(u1·u2) + x2·y1·(u2·u1) + x2·y2·(u2·u2)

x·y = x1·y1·a + x1·y2·b + x2·y1·b + x2·y2·c

x·y = x1·y1·a + (x1·y2 + x2·y1)·b + x2·y2·c

Ejercicio: cálculo del producto escalar de dos vectores

Hallar el producto escalar de los vectores a = 2 u1 + 3 u2 y b = 4 u1 - u2, donde {u1,u2} es una base del plano en la que |u1| = 2, |u2| = 1 y ambos vectores, u1 y u2, forman un ángulo de 60°.

Resolución:

a·b = (2·u1 + 3·u2)·(4·u1 - u2) = 8·(u1·u1) + 10·(u1·u2) - 3·(u2·u2)

u1·u1 = |u1|² = 4

u1·u2 = u2·u1 = |u1|·|u2|·cos 60° = 2·1·½ = 1

u2·u2 = |u2|² = 1

a·b = 8·4 + 10·1 - 3·1 = 32 + 10 - 3 = 39

Cálculo del módulo de un vector

Para hallar el módulo de un vector se puede aplicar la última propiedad vista para el producto escalar.

Como a·a = |a|², el módulo de a es:

|a| = √a·a

Cálculo del ángulo formado por dos vectores

Como a·b = |a|·|b|·cos α, despejando se obtiene:

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