Vectores

4° parte

• Nota: En éste trabajo las letras con una raya arriba representan un vector, por ejemplo ā es el vector a.

Cálculo del producto escalar entre vectores

Puesto que ā·b = |ā|·| b|·cos α, parece sencillo calcular ā·b, pero en la práctica puede resultar complicado conocer el módulo de los vectores y el ángulo que forman.

En general, resulta más sencillo calcular el producto escalar de dos vectores conociendo sus coordenadas respecto de una base y los productos escalares de los vectores que forman dicha base.

Supóngase que se tienen dos vectores x e y que respecto a una base {ŭ₁, ŭ₂} del plano tienen coordenadas (x₁, x₂) e (y₁, y₂), es decir:

x = x₁·ŭ₁ + x₂·ŭ₂

y = y₁·ŭ₁ + y₂·ŭ₂

Además,

ŭ₁·ŭ₁ = a

ŭ₁·ŭ₂ = ŭ₂·ŭ₁ = b

ŭ₂·ŭ₂ = c

El producto escalar de x e y será entonces (se aplican las propiedades distributivas respecto de la suma y de linealidad)

x·y = (x₁·ŭ₁ + x₂·ŭ₂)·(y₁·ŭ₁ + y₂·ŭ₂)

x·y = (x₁·ŭ₁)·(y₁·ŭ₁) + (x₁·ŭ₁)·(y₂·ŭ₂) + (x₂·ŭ₂)·(y₁·ŭ₁) + (x₂·ŭ₂)·(y₂·ŭ₂)

x·y = x₁·y₁·(ŭ₁·ŭ₁) + x₁·y₂·(ŭ₁·ŭ₂) + x₂·y₁·(ŭ₂·ŭ₁) + x₂·y₂·(ŭ₂·ŭ₂)

x·y = x₁·y₁·a + x₁·y₂·b + x₂·y₁·b + x₂·y₂·c

x·y = x₁·y₁·a + (x₁·y₂ + x₂·y₁)·b + x₂·y₂·c

Ejemplo de cálculo del producto escalar de dos vectores

Ejemplo n° 1

Hallar el producto escalar de los vectores ā = 2·ŭ₁ + 3·ŭ₂ y b = 4·ŭ₁ - ŭ₂, donde {ŭ₁, ŭ₂} es una base del plano en la que |ŭ₁| = 2, |ŭ₂| = 1 y ambos vectores, ŭ₁ y ŭ₂, forman un ángulo de 60°.

Solución

ā·b = (2·ŭ₁ + 3·ŭ₂)·(4·ŭ₁ - ŭ₂) = 8·(ŭ₁·ŭ₁) + 10·(ŭ₁·ŭ₂) - 3·(ŭ₂·ŭ₂)

ŭ₁·ŭ₁ = |ŭ₁|² = 4

ŭ₁·ŭ₂ = ŭ₂·ŭ₁ = |ŭ₁|·|ŭ₂|·cos 60° = 2·1·½ = 1

ŭ₂·ŭ₂ = |ŭ₂|² = 1

ā·b = 8·4 + 10·1 - 3·1 = 32 + 10 - 3 = 39

Cálculo del módulo de un vector

Para hallar el módulo de un vector se puede aplicar la última propiedad vista para el producto escalar.

Como ā·ā = |ā|², el módulo de ā es:

|ā| = √a·a

Cálculo del ángulo formado por dos vectores

Como ā·b = |ā|·|b|·cos α, despejando se obtiene:

cos α =	ā·b	=	ā·b
	\|ā\|·\|b\|		√ā·ā·√b·b

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Autor: Patricia Bati

Argentina.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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¿Qué es el producto escalar entre vectores?