VECTORES
4° parte
Nota: En éste trabajo las letras con una raya arriba representan un vector, por ejemplo a es el vector a.
Cálculo del producto escalar
Puesto que a.b = | a| | b| cos α, parece sencillo calcular a . b, pero en la práctica puede resultar complicado conocer el módulo de los vectores y el ángulo que forman.
En general, resulta más sencillo calcular el producto escalar de dos vectores conociendo sus coordenadas respecto de una base y los productos escalares de los vectores que forman dicha base.
Supóngase que se tienen dos vectores x e y que respecto a una base {u1,u2} del plano tienen coordenadas (x1, x2) e (y1, y2), es decir:
x = x1.u1 + x2.u2
y = y1.u1 + y2.u2
Además,
u1.u1 = a
u1.u2 = u2.u1 = b
u2.u2 = c
El producto escalar de x e y será entonces (se aplican las propiedades distributivas respecto de la suma y de linealidad)
x.y = (x1.u1 + x2.u2).(y1.u1 + y2.u2)
x.y = (x1.u1).(y1.u1) + (x1.u1).(y2.u2) + (x2.u2).(y1.u1) + (x2.u2).(y2.u2)
x.y = x1.y1.(u1.u1) + x1.y2.(u1.u2) + x2.y1.(u2.u1) + x2.y2.(u2.u2)
x.y = x1.y1.a + x1.y2.b + x2.y1.b + x2.y2.c
x.y = x1.y1.a + (x1.y2 + x2.y1).b + x2.y2.c
Ejercicio: cálculo del producto escalar de dos vectores
Hallar el producto escalar de los vectores a = 2 u1 + 3 u2 y b = 4 u1 - u2, donde {u1,u2} es una base del plano en la que |u1| = 2, |u2| = 1 y ambos vectores, u1 y u2 ,forman un ángulo de 60°.
Resolución:
a.b = (2.u1 + 3.u2).(4.u1 - u2) = 8.(u1.u1) + 10.(u1.u2) - 3.(u2.u2)
u1.u1 = |u1|² = 4
u1.u2 = u2.u1 = |u1|.|u2|.cos 60° = 2.1.(1/2) = 1
u2.u2 = |u2|² = 1
a.b = 8.4 + 10.1 - 3.1 = 32 + 10 - 3 =39
Cálculo del módulo de un vector
Para hallar el módulo de un vector se puede aplicar la última propiedad vista para el producto escalar.
Como a.a = |a|², el módulo de a es:
|a| = √a•a
Cálculo del ángulo formado por dos vectores
Como a.b = |a|.|b|.cos α, despejando se obtiene:
Autor: Anónimo
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