Problema n° 1-a y 1-b de derivadas por definición en una variable - TP01

Enunciado del ejercicio n° 1-a y 1-b

Calcular las siguientes derivadas aplicando la definición en los puntos que se indican.

a) f(x) = 3·x + 6, en x = 2

b) f(x) =2, en x = 0
x + 1

Desarrollo

Fórmulas:

f'(x) =lim
h ⟶ 0
f(x0 + h) - f(x0)
h

Solución

a)

f(x) = 3·x + 6, en x = 2

f'(2) =lim
h ⟶ 0
f(2 + h) - f(2)
h

Hallamos los valores de la función para f(2) y f(2 + h):

f(2 + h) = 3·(2 + h) + 6

f(2 + h) = 6 + 3·h + 6

f(2 + h) = 12 + 3·h

f(2) = 3·(2) + 6

f(2) = 6 + 6

f(2) = 12

Con los valores hallados aplicamos la definición de derivada en el punto dado:

f'(2) =lim
h ⟶ 0
12 + 3·h - 12
h

Resolvemos:

f'(2) =lim
h ⟶ 0
3·h
h
f'(2) =lim
h ⟶ 0
3 = 3

Resolvemos el límite:

f'(2) = 3

b)

f(x) =2, en x = 0
x + 1
f'(0) =lim
h ⟶ 0
f(0 + h) - f(0)
h

Hallamos los valores de la función para f(0) y f(0 + h):

f(0 + h) =2
(0 + h) + 1
f(0 + h) =2
h + 1
f(0) =2
0 + 1
f(0) =2
1

f(0) = 2

Con los valores hallados aplicamos la definición de derivada en el punto dado:

  2 - 2
f'(0) =lim
h ⟶ 0
h + 1
h

Resolvemos:

  2 - 2·(h + 1)
f'(0) =lim
h ⟶ 0
h + 1
h
f'(0) =lim
h ⟶ 0
2 - 2·h - 2
(h + 1)·h
f'(0) =lim
h ⟶ 0
-2·h
(h + 1)·h
f'(0) =lim
h ⟶ 0
-2
h + 1

Resolvemos el límite:

f'(0) =-2
0 + 1

f'(0) = -2

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo derivar funciones por definición

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