Ejemplo, cómo derivar funciones por definición
Problema n° 1-a y 1-b de derivadas por definición en una variable - TP01
Enunciado del ejercicio n° 1-a y 1-b
Calcular las siguientes derivadas aplicando la definición en los puntos que se indican.
a) f(x) = 3·x + 6, en x = 2
| b) f(x) = | 2 | , en x = 0 |
| x + 1 |
Desarrollo
Fórmulas:
| f'(x) = | lim h → 0 | f(x0 + h) - f(x0) |
| h |
Solución
a)
f(x) = 3·x + 6, en x = 2
| f'(2) = | lim h → 0 | f(2 + h) - f(2) |
| h |
Hallamos los valores de la función para f(2) y f(2 + h):
f(2 + h) = 3·(2 + h) + 6
f(2 + h) = 6 + 3·h + 6
f(2 + h) = 12 + 3·h
f(2) = 3·(2) + 6
f(2) = 6 + 6
f(2) = 12
Con los valores hallados aplicamos la definición de derivada en el punto dado:
| f'(2) = | lim h → 0 | 12 + 3·h - 12 |
| h |
Resolvemos:
| f'(2) = | lim h → 0 | 3·h |
| h |
| f'(2) = | lim h → 0 | 3 = 3 |
Resolvemos el límite:
f'(2) = 3
b)
| f(x) = | 2 | , en x = 0 |
| x + 1 |
| f'(0) = | lim h → 0 | f(0 + h) - f(0) |
| h |
Hallamos los valores de la función para f(0) y f(0 + h):
| f(0 + h) = | 2 |
| (0 + h) + 1 |
| f(0 + h) = | 2 |
| h + 1 |
| f(0) = | 2 |
| 0 + 1 |
| f(0) = | 2 |
| 1 |
f(0) = 2
Con los valores hallados aplicamos la definición de derivada en el punto dado:
| 2 | - 2 | ||
| f'(0) = | lim h → 0 | h + 1 | |
| h | |||
Resolvemos:
| 2 - 2·(h + 1) | ||
| f'(0) = | lim h → 0 | h + 1 |
| h |
| f'(0) = | lim h → 0 | 2 - 2·h - 2 |
| (h + 1)·h |
| f'(0) = | lim h → 0 | -2·h |
| (h + 1)·h |
| f'(0) = | lim h → 0 | -2 |
| h + 1 |
Resolvemos el límite:
| f'(0) = | -2 |
| 0 + 1 |
f'(0) = -2
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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