Ejemplo, cómo derivar funciones por definición

Problema n° 1-c de derivadas por definición en una variable - TP01

Enunciado del ejercicio n° 1-c

Calcular la siguiente derivada aplicando la definición en el punto que se indica.

f(x) = √2·x - 1, en x = 1

f'(x) =	lim h → 0	f(x₀ + h) - f(x₀)
		h

f(x) = √2·x - 1, en x = 1

f'(1) =	lim h → 0	f(1 + h) - f(1)
		h

Hallamos los valores de la función para f(1) y f(1 + h):

f(1 + h) = √2·(1 + h) - 1

f(1 + h) = √2 + 2·h - 1

f(1 + h) = √1 + 2·h

f(1) = √2·1 - 1

f(1) = √2 - 1

f(1) = √1

Con los valores hallados aplicamos la definición de derivada en el punto dado:

f'(1) =	lim h → 0	√1 + 2·h - √1
		h

Multiplicamos numerador y denominador por √1 + 2·h + √1 (conjugado del numerador)

f'(1) =	lim h → 0	(√1 + 2·h - √1)·(√1 + 2·h + √1)
		h·(√1 + 2·h + √1)

El numerador es una diferencia de los cuadrados:

f'(1) =	lim h → 0	(√1 + 2·h)² - (√1)²
		h·(√1 + 2·h + √1)

f'(1) =	lim h → 0	1 + 2·h - 1
		h·(√1 + 2·h + √1)

f'(1) =	lim h → 0	2·h
		h·(√1 + 2·h + √1)

Simplificamos:

f'(1) =	lim h → 0	2
		√1 + 2·h + √1

Salvada la indeterminación resolvemos el límite:

f'(1) =	2
	√1 + 2·0 + √1

f'(1) =	2
	√1 + √1

f'(1) =	2
	1 + 1

f'(1) =	2
	2

f'(1) = 1

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.