Problema n° 1-c de derivadas por definición en una variable - TP01

Enunciado del ejercicio n° 1-c

Calcular la siguiente derivada aplicando la definición en el punto que se indica.

f(x) = 2·x - 1, en x = 1

Desarrollo

Fórmulas:

f'(x) =lim
h ⟶ 0
f(x0 + h) - f(x0)
h

Solución

f(x) = 2·x - 1, en x = 1

f'(1) =lim
h ⟶ 0
f(1 + h) - f(1)
h

Hallamos los valores de la función para f(1) y f(1 + h):

f(1 + h) = 2·(1 + h) - 1

f(1 + h) = 2 + 2·h - 1

f(1 + h) = 1 + 2·h

f(1) = 2·1 - 1

f(1) = 2 - 1

f(1) = 1

Con los valores hallados aplicamos la definición de derivada en el punto dado:

f'(1) =lim
h ⟶ 0
1 + 2·h - 1
h

Multiplicamos numerador y denominador por 1 + 2·h + 1 (conjugado del numerador)

f'(1) =lim
h ⟶ 0
(1 + 2·h - 1)·(1 + 2·h + 1)
h·(1 + 2·h + 1)

El numerador es una diferencia de los cuadrados:

f'(1) =lim
h ⟶ 0
(1 + 2·h)² - (1
h·(1 + 2·h + 1)
f'(1) =lim
h ⟶ 0
1 + 2·h - 1
h·(1 + 2·h + 1)
f'(1) =lim
h ⟶ 0
2·h
h·(1 + 2·h + 1)

Simplificamos:

f'(1) =lim
h ⟶ 0
2
1 + 2·h + 1

Salvada la indeterminación resolvemos el límite:

f'(1) =2
1 + 2·0 + 1
f'(1) =2
1 + 1
f'(1) =2
1 + 1
f'(1) =2
2

f'(1) = 1

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo derivar funciones por definición

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