Problema n° 1-c de derivadas por definición en una variable - TP01
Enunciado del ejercicio n° 1-c
Calcular la siguiente derivada aplicando la definición en el punto que se indica.
f(x) = √2·x - 1, en x = 1
Desarrollo
Fórmulas:
| f'(x) = | lim h ⟶ 0 | f(x0 + h) - f(x0) |
| h |
Solución
f(x) = √2·x - 1, en x = 1
| f'(1) = | lim h ⟶ 0 | f(1 + h) - f(1) |
| h |
Hallamos los valores de la función para f(1) y f(1 + h):
f(1 + h) = √2·(1 + h) - 1
f(1 + h) = √2 + 2·h - 1
f(1 + h) = √1 + 2·h
f(1) = √2·1 - 1
f(1) = √2 - 1
f(1) = √1
Con los valores hallados aplicamos la definición de derivada en el punto dado:
| f'(1) = | lim h ⟶ 0 | √1 + 2·h - √1 |
| h |
Multiplicamos numerador y denominador por √1 + 2·h + √1 (conjugado del numerador)
| f'(1) = | lim h ⟶ 0 | (√1 + 2·h - √1)·(√1 + 2·h + √1) |
| h·(√1 + 2·h + √1) |
El numerador es una diferencia de los cuadrados:
| f'(1) = | lim h ⟶ 0 | (√1 + 2·h)² - (√1)² |
| h·(√1 + 2·h + √1) |
| f'(1) = | lim h ⟶ 0 | 1 + 2·h - 1 |
| h·(√1 + 2·h + √1) |
| f'(1) = | lim h ⟶ 0 | 2·h |
| h·(√1 + 2·h + √1) |
Simplificamos:
| f'(1) = | lim h ⟶ 0 | 2 |
| √1 + 2·h + √1 |
Salvada la indeterminación resolvemos el límite:
| f'(1) = | 2 |
| √1 + 2·0 + √1 |
| f'(1) = | 2 |
| √1 + √1 |
| f'(1) = | 2 |
| 1 + 1 |
| f'(1) = | 2 |
| 2 |
f'(1) = 1
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo derivar funciones por definición