Problema n° 1-e y 1-f de derivadas, reglas y fórmulas de derivación directa en una variable - TP02

Enunciado del ejercicio n° 1-e y 1-f

Derivar las siguientes funciones aplicando las reglas y fórmulas de derivación.

e) f(x) =3·x + 2
2·x + 3
f) f(x) =x² - a²
x·(2· - a)

Solución

e)

f(x) =3·x + 2
2·x + 3

Aplicamos la fórmula para derivar cocientes:

y =u⇒ y' =u'·v - u·v'
v
f'(x) =(3·x + 2)'·(2·x + 3) - (3·x + 2)·(2·x + 3)'
(2·x + 3)²

Derivamos:

f'(x) =(3·x1 - 1 + 0)·(2·x + 3) - (3·x + 2)·(2·x1 - 1 + 0)
(2·x + 3)²
f'(x) =3·x0·(2·x + 3) - (3·x + 2)·2·x0
(2·x + 3)²
f'(x) =3·1·(2·x + 3) - (3·x + 2)·2·1
(2·x + 3)²
f'(x) =3·(2·x + 3) - (3·x + 2)·2
(2·x + 3)²

Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:

f'(x) =6·x + 9 - (6·x + 4)
(2·x + 3)²
f'(x) =6·x + 9 - 6·x - 4
(2·x + 3)²
f'(x) =5
(2·x + 3)²

f)

f(x) =x² - a²
x·(2·x - a)

Aplicamos la fórmula para derivar cocientes:

y =u⇒ y' =u'·v - u·v'
v
f'(x) =(x² - a²)'·[x·(2·x - a)] - (x² - a²)·[x·(2·x - a)]'
[x·(2·x - a)]²
f'(x) =(x² - a²)'·(2·x² - a·x) - (x² - a²)·(2·x² - a·x)'
x²·(2·x - a)²

Derivamos:

f'(x) =(2·x2 - 1 - 0)·(2·x² - a·x) - (x² - a²)·(2·2·x2 - 1 - a·x1 - 1)
x²·(2·x - a)²
f'(x) =2·x¹·(2·x² - a·x) - (x² - a²)·(4·x¹ - a·x0)
x²·(2·x - a)²
f'(x) =2·x·(2·x² - a·x) - (x² - a²)·(4·x - a·1)
x²·(2·x - a)²
f'(x) =2·x·(2·x² - a·x) - (x² - a²)·(4·x - a)
x²·(2·x - a)²

Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la resta:

f'(x) =4·x³ - 2·a·x² - (4·x³ - 4·a²·x - a·x² + a³)
x²·(2·x - a)²
f'(x) =4·x³ - 2·a·x² - 4·x³ + 4·a²·x + a·x² - a³
x²·(2·x - a)²
f'(x) =-a·x² + 4·a²·x - a³
x²·(2·x - a)²

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo derivar funciones

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