Problema nº 2-a y 2-b de derivadas del producto de funciones por la regla de derivación
Enunciado del ejercicio nº 2-a y 2-b
Derivar las siguientes funciones compuestas.
a) f(x) = 3·x·(x - 1)·(4 - 2·x)
b) f(x) = (x - 1)·(x - 2)·(x - 3)
Solución
Aplicamos la regla de la derivada de un producto:
y' = u'·v + v'·u
a)
f(x) = 3·x·(x - 1)·(4 - 2·x)
Derivamos aplicando las reglas de derivación mediante un cambio de variables:
u = 3·x
v = x - 1
w = 4 - 2·x
u' = 3·x¹⁻¹
u' = 3·x⁰
u' = 3·1 = 3
v' = x¹⁻¹ - 0
v' = x⁰ = 1
w' = 0 - 2·x¹⁻¹
w' = -2·x⁰
w' = -2·1 = -2
f(x) = u·(v·w)
f'(x) = u'·(v·w) + u·(v'·w + v·w')
Reemplazamos las variables:
f'(x) = 3·(x - 1)·(4 - 2·x) + 3·x·[1·(4 - 2·x) + (x - 1)·(-2)]
Resolvemos:
f'(x) = 3·(x - 1)·(4 - 2·x) + 3·x·[4 - 2·x - (x - 1)·2]
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la resta:
f'(x) = 3·(4·x - 2·x² - 4 + 2·x) + 3·x·(4 - 2·x - 2·x + 2)
f'(x) = 3·(6·x - 2·x² - 4) + 3·x·(-4·x + 6)
f'(x) = 18·x - 6·x² - 12 + (-12·x² + 18·x)
f'(x) = -6·x² + 18·x - 12 - 12·x² + 18·x
f'(x) = -6·x² - 12·x² + 18·x + 18·x - 12
Expresamos el resultado:
f'(x) = -18·x² + 36·x - 12
b)
f(x) = (x - 1)·(x - 2)·(x - 3)
Derivamos aplicando las reglas de derivación mediante un cambio de variables:
u = x - 1
v = x - 2
w = x - 3
u' = x¹⁻¹ - 0
u' = x⁰ = 1
v' = x¹⁻¹ - 0
v' = x⁰ = 1
w' = x¹⁻¹ - 0
w' = x⁰ = 1
f(x) = u·(v·w)
f'(x) = u'·(v·w) + u·(v'·w + v·w')
Reemplazamos las variables:
f'(x) = 1·(x - 2)·(x - 3) + (x - 1)·[1·(x - 3) + (x - 2)·1]
Resolvemos:
f'(x) = (x - 2)·(x - 3) + (x - 1)·(x - 3 + x - 2)
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la resta:
f'(x) = x² - 3·x - 2·x + 6 + (x - 1)·(2·x - 5)
f'(x) = x² - 5·x + 6 + 2·x² - 5·x - 2·x + 5
f'(x) = x² + 2·x² - 5·x - 7·x + 6 + 5
Expresamos el resultado:
f'(x) = 3·x² - 12·x + 11
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina