Problema nº 2-c y 2-d de derivadas del producto de funciones por la regla de derivación
Enunciado del ejercicio nº 2-c y 2-d
Derivar las siguientes funciones compuestas.
c) f(x) = x·(-x + 2)·(-3·x + 5)
d) f(x) = 2·x·(x - 1)·(4·x + 5)·(3·x - 7)
Solución
Aplicamos la regla de la derivada de un producto:
y' = u'·v + v'·u
c)
f(x) = x·(-x + 2)·(-3·x + 5)
Derivamos aplicando las reglas de derivación mediante un cambio de variables:
u = x
v = -x + 2
w = -3·x + 5
u' = x¹⁻¹
u' = x⁰ = 1
v' = -x¹⁻¹ + 0
v' = -x⁰ = -1
w' = -3·x¹⁻¹ + 0
w' = -3·x⁰
w' = -3·1 = -3
f(x) = u·(v·w)
f'(x) = u'·(v·w) + u·(v'·w + v·w')
Reemplazamos las variables:
f'(x) = 1·(-x + 2)·(-3·x + 5) + x·[-1·(-3·x + 5) + (-x + 2)·(-3)]
Resolvemos:
f'(x) = (-x + 2)·(-3·x + 5) + x·[-(-3·x + 5) + (-x + 2)·(-3)]
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la resta:
f'(x) = 3·x² - 5·x - 6·x + 10 + x·(3·x - 5 + 3·x - 6)
f'(x) = 3·x² - 11·x + 10 + x·(6·x - 11)
f'(x) = 3·x² - 11·x + 10 + 6·x² - 11·x
f'(x) = 3·x² + 6·x² - 11·x - 11·x + 10
Expresamos el resultado:
f'(x) = 9·x² - 22·x + 10
d)
f(x) = 2·x·(x - 1)·(4·x + 5)·(3·x - 7)
Derivamos aplicando las reglas de derivación mediante un cambio de variables:
t = 2·x
u = x - 1
v = 4·x + 5
w = 3·x - 7
t' = 2·x¹⁻¹
t' = 2·x⁰
t' = 2·1 = 2
u' = x¹⁻¹ - 0
u' = x⁰ = 1
v' = 4·x¹⁻¹ + 0
v' = 4·x⁰
v' = 4·1 = 4
w' = 3·x¹⁻¹ - 0
w' = 3·x⁰
w' = 3·1 = 3
f(x) = (t·u)·(v·w)
f'(x) = (t·u)'·(v·w) + (t·u)·(v·w)'
f'(x) = (t'·u + u'·t)·(v·w) + (t·u)·(v'·w + v·w')
Reemplazamos las variables:
f'(x) = [2·(x - 1) + 1·2·x]·(4·x + 5)·(3·x - 7) + 2·x·(x - 1)·[4·(3·x - 7) + (4·x + 5)·3]
Resolvemos:
f'(x) = [2·(x - 1) + 2·x]·(4·x + 5)·(3·x - 7) + 2·x·(x - 1)·[4·(3·x - 7) + (4·x + 5)·3]
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la resta:
f'(x) = (2·x - 2 + 2·x)·(12·x² - 28·x + 15·x - 35) + (2·x² - 2·x)·(12·x - 28 + 12·x + 15)
f'(x) = (4·x - 2)·(12·x² - 13·x - 35) + (2·x² - 2·x)·(24·x - 13)
f'(x) = 48·x³ - 52·x² - 140·x - 24·x² + 26·x + 70 + 48·x³ - 26·x² - 48·x² + 26·x
f'(x) = 48·x³ + 48·x³ - 52·x² - 24·x² - 26·x² - 48·x² - 140·x + 26·x + 26·x + 70
Expresamos el resultado:
f'(x) = 96·x³ - 150·x² - 88·x + 70
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina