Problema nº 2 de ecuaciones de segundo grado o cuadráticas - TP01

Enunciado del ejercicio nº 2

Dada la ecuación 18·x² - 12·k·x + (6·k - 2) = 0, determinar el valor de "k" para que:

a) Sus raíces sean iguales.

b) Sus raíces sean opuestas.

c) Sus raíces sean recíprocas.

d) Una de sus raíces sea nula.

Desarrollo

Datos:

18·x² - 12·k·x + (6·k - 2) = 0

Fórmulas:

Ecuación de Báscara o Bhaskara:

Solución

Extraemos factor común "2":

2·[9·x² - 6·k·x + (3·k - 1)] = 0

9·x² - 6·k·x + (3·k - 1) = 0

Aplicamos la ecuación, siendo:

a = 9

b = -6·k

c = 3·k - 1

Extraemos factor común "36" dentro de la raíz:

Extraemos "6" de la raíz:

Simplificamos:

(1)

Usaremos esta ecuación para los cálculos.

a)

Para que sus raíces sean iguales:

x₁ = x₂

Entonces, de la ecuación (1):

Simplificamos:

Igualamos a cero:

k² - 3·k + 1 = 0

Siendo:

a = 1

b = -3

c = 1

Obtenemos dos resultados para "k":

k₁ = 2,6180

k₂ = 0,3820

Aplicamos nuevamente la ecuación (1) con los resultados hallados de "k":

Para k₁:

x_1,2 = 0,8727

Para k₂:

x_3,4 = 0,1273

Resultado:

k₁ = 2,6180

k₂ = 0,3820

Para k₁, las raíces son:

x₁ = x₂ = 0,8727

Para k₂, las raíces son:

x₃ = x₄ = 0,1273

b)

Para que sus raíces sean opuestas:

x₁ + x₂ = 0

Entonces, de la ecuación (1):

k = - k

2·k = 0

k = 0

Aplicamos nuevamente la ecuación (1) con el resultado hallado de "k":

Resultado, el valor de "k" es:

k = 0

Las raíces son:

c)

Para que sus raíces sean recíprocas:

x₁·x₂ = 1

Entonces, de la ecuación (1):

Resolvemos:

k² - k² + 3·k - 1 = 9

3·k - 1 = 9

Despejamos "k":

3·k = 9 + 1

3·k = 10

Aplicamos nuevamente la ecuación (1) con el resultado hallado de "k":

Extraemos "⅑" de la raíz:

Resultado, el valor de "k" es:

Las raíces son:

d)

Para que una de sus raíces sea nula:

x₁ = 0 ∨ x₂ = 0

Entonces, de la ecuación (1):

Calculamos para x₁:

Elevamos ambos términos al cuadrado para eliminar la raíz:

Cancelamos:

k₁² = k₁² - 3·k₁ + 1

Despejamos k₁:

0 = -3·k₁ + 1

3·k₁ = 1

k₁ = ⅓

Calculamos para x₂:

Elevamos ambos términos al cuadrado para eliminar la raíz:

Cancelamos:

k₂² = k₂² - 3·k₂ + 1

Despejamos k₂:

0 = -3·k₂ + 1

3·k₂ = 1

k₂ = ⅓

Aplicamos nuevamente la ecuación (1) con el resultado hallado de "k":

k₁ = k₂ = ⅓

Resultado, el valor de "k" es:

k = ⅓

Las raíces son:

x₂ = 0

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo, cómo resolver ecuaciones cuadraticas