Problema nº 2 de ecuaciones de segundo grado o cuadráticas
Enunciado del ejercicio nº 2
Dada la ecuación 18·x² - 12·k·x + (6·k - 2) = 0, determinar el valor de "k" para que:
a) Sus raíces sean iguales.
b) Sus raíces sean opuestas.
c) Sus raíces sean recíprocas.
d) Una de sus raíces sea nula.
Desarrollo
Datos:
18·x² - 12·k·x + (6·k - 2) = 0
Fórmulas:
Ecuación de Báscara o Bhaskara:
Solución
Extraemos factor común "2":
2·[9·x² - 6·k·x + (3·k - 1)] = 0
9·x² - 6·k·x + (3·k - 1) = 0
Aplicamos la ecuación, siendo:
a = 9
b = -6·k
c = 3·k - 1
Extraemos factor común "36" dentro de la raíz:
Extraemos "6" de la raíz:
Simplificamos:
(1)
Usaremos esta ecuación para los cálculos.
a)
Para que sus raíces sean iguales:
x₁ = x₂
Entonces, de la ecuación (1):
Simplificamos:
Igualamos a cero:
k² - 3·k + 1 = 0
Siendo:
a = 1
b = -3
c = 1
Obtenemos dos resultados para "k":
k₁ = 2,6180
k₂ = 0,3820
Aplicamos nuevamente la ecuación (1) con los resultados hallados de "k":
Para k₁:
x1,2 = 0,8727
Para k₂:
x3,4 = 0,1273
Resultado:
k₁ = 2,6180
k₂ = 0,3820
Para k₁, las raíces son:
x₁ = x₂ = 0,8727
Para k₂, las raíces son:
x₃ = x₄ = 0,1273
b)
Para que sus raíces sean opuestas:
x₁ + x₂ = 0
Entonces, de la ecuación (1):
k = - k
2·k = 0
k = 0
Aplicamos nuevamente la ecuación (1) con el resultado hallado de "k":
Resultado, el valor de "k" es:
k = 0
Las raíces son:
c)
Para que sus raíces sean recíprocas:
x₁·x₂ = 1
Entonces, de la ecuación (1):
Resolvemos:
k² - k² + 3·k - 1 = 9
3·k - 1 = 9
Despejamos "k":
3·k = 9 + 1
3·k = 10
Aplicamos nuevamente la ecuación (1) con el resultado hallado de "k":
Extraemos "⅑" de la raíz:
Resultado, el valor de "k" es:
Las raíces son:
d)
Para que una de sus raíces sea nula:
x₁ = 0 ∨ x₂ = 0
Entonces, de la ecuación (1):
Calculamos para x₁:
Elevamos ambos términos al cuadrado para eliminar la raíz:
Cancelamos:
k₁² = k₁² - 3·k₁ + 1
Despejamos k₁:
0 = -3·k₁ + 1
3·k₁ = 1
k₁ = ⅓
Calculamos para x₂:
Elevamos ambos términos al cuadrado para eliminar la raíz:
Cancelamos:
k₂² = k₂² - 3·k₂ + 1
Despejamos k₂:
0 = -3·k₂ + 1
3·k₂ = 1
k₂ = ⅓
Aplicamos nuevamente la ecuación (1) con el resultado hallado de "k":
k₁ = k₂ = ⅓
Resultado, el valor de "k" es:
k = ⅓
Las raíces son:
x₂ = 0
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo resolver ecuaciones cuadraticas