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Ejemplo, cómo resolver ecuaciones cuadraticas

Problema n° 2 de ecuaciones de segundo grado

Enunciado del ejercicio n° 2

Dada la ecuación 18·x² - 12·k·x + (6·k - 2) = 0, determinar el valor de "k" para que:

a) Sus raíces sean iguales.

b) Sus raíces sean opuestas.

c) Sus raíces sean recíprocas.

d) Una de sus raíces sea nula.

Desarrollo

Datos:

18·x² - 12·k·x + (6·k - 2) = 0

Fórmulas:

Ecuación de Báscara o Bhaskara:

x1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Solución

Extraemos factor común "2":

2·[9·x² - 6·k·x + (3·k - 1)] = 0

9·x² - 6·k·x + (3·k - 1) = 0

Aplicamos la ecuación, siendo:

a = 9

b = -6·k

c = 3·k - 1

x1,2 =-(-6·k) ± (-6·k)² - 4·9·(3·k - 1)
2·9
x1,2 =6·k ± 36·k² - 36·(3·k - 1)
18

Extraemos factor común "36" dentro de la raíz:

x1,2 =6·k ± 36·[k² - (3·k - 1)]
18

Extraemos "6" de la raíz:

x1,2 =6·k ± 6·k² - 3·k + 1
18

Simplificamos:

x1,2 =k ± k² - 3·k + 1(1)
3

Usaremos esta ecuación para los cálculos.

a)

Para que sus raíces sean iguales:

x1 = x2

Entonces, de la ecuación (1):

k + k² - 3·k + 1=k - k² - 3·k + 1
33

Simplificamos:

k + k² - 3·k + 1=k - k² - 3·k + 1
33

k² - 3·k + 1 = -k² - 3·k + 1

Igualamos a cero:

k² - 3·k + 1 + k² - 3·k + 1 = 0

k² - 3·k + 1 = 0

k² - 3·k + 1 = 0

k² - 3·k + 1 = 0

k1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = 1

b = -3

c = 1

k1,2 =-(-3) ± (-3)² - 4·1·1
2·1
k1,2 =3 ± 9 - 4
2
k1,2 =3 ± 5
2

Obtenemos dos resultados para "k":

k1 =3 + 5
2

k1 = 2,6180

k2 =3 - 5
2

k2 = 0,3820

Aplicamos nuevamente la ecuación (1) con los resultados hallados de "k":

x1,2 =k ± k² - 3·k + 1
3

Para k1:

x1,2 =k1 ± k1² - 3·k1 + 1
3
x1,2 =2,6180 ± 2,6180² - 3·2,6180 + 1
3
x1,2 =2,6180 ± 6,8541 - 7,8541 + 1
3
x1,2 =2,6180 ± 0
3
x1,2 =2,6180
3

x1,2 = 0,8727

Para k2:

x3,4 =k2 ± k2² - 3·k2 + 1
3
x3,4 =0,3820 ± 0,3820² - 3·0,3820 + 1
3
x3,4 =0,3820 ± 0,1459 - 1,1459 + 1
3
x3,4 =0,3820 ± 0
3
x3,4 =0,3820
3

x3,4 = 0,1273

Resultado:

k1 = 2,6180

k2 = 0,3820

Para k1, las raíces son:

x1 = x2 = 0,8727

Para k2, las raíces son:

x3 = x4 = 0,1273

b)

Para que sus raíces sean opuestas:

x1 + x2 = 0

Entonces, de la ecuación (1):

k + k² - 3·k + 1= -k - k² - 3·k + 1
33

Simplificamos:

k + k² - 3·k + 1=-k + k² - 3·k + 1
33

k + k² - 3·k + 1 = -k + k² - 3·k + 1

k = - k

2·k = 0

k = 0

Aplicamos nuevamente la ecuación (1) con el resultado hallado de "k":

x1,2 =k ± k² - 3·k + 1
3
x1,2 =0 ± 0² - 3·0 + 1
3
x1,2 =± 1
3

Resultado, el valor de "k" es:

k = 0

Las raíces son:

x1 =1
3
x2 = -1
3

c)

Para que sus raíces sean recíprocas:

x1·x2 = 1

Entonces, de la ecuación (1):

k + k² - 3·k + 1=3
3k - k² - 3·k + 1

(k + k² - 3·k + 1)·(k - k² - 3·k + 1) = 3·3

Resolvemos:

k² - (k² - 3·k + 1)² = 9

k² - k² + 3·k - 1 = 9

3·k - 1 = 9

Despejamos "k":

3·k = 9 + 1

3·k = 10

k =10
3

Aplicamos nuevamente la ecuación (1) con el resultado hallado de "k":

x1,2 =k ± k² - 3·k + 1
3
x1,2 =10/3 ± (10/3)² - 3·(10/3) + 1
3
x1,2 =10/3 ± 100/9 - 10 + 1
3
x1,2 =10/3 ± 100/9 - 9
3
x1,2 =10/3 ± (100 - 81)/9
3
x1,2 =10/3 ± 19/9
3

Extraemos "⅑" de la raíz:

x1,2 =10/3 ± ⅓·19
3
x1,2 =10 ± 19
9

Resultado, el valor de "k" es:

k =10
3

Las raíces son:

x1 =10 + 19
9
x2 =10 - 19
9

d)

Para que una de sus raíces sea nula:

x1 = 0 ∨ x2 = 0

Entonces, de la ecuación (1):

x1 =k1 + k1² - 3·k1 + 1= 0
3

x2 =k2 - k2² - 3·k2 + 1= 0
3

Calculamos para x1:

k1 + k1² - 3·k1 + 1= 0
3

k1 + k1² - 3·k1 + 1 = 0

k1 = -k1² - 3·k1 + 1

Elevamos ambos términos al cuadrado para eliminar la raíz:

k1² = (-k1² - 3·k1 + 1

Cancelamos:

k1² = k1² - 3·k1 + 1

Despejamos k1:

0 = -3·k1 + 1

3·k1 = 1

k1 =1
3

Calculamos para x2:

k2 - k2² - 3·k2 + 1= 0
3

k2 - k2² - 3·k2 + 1 = 0

k2 = k2² - 3·k2 + 1

Elevamos ambos términos al cuadrado para eliminar la raíz:

k2² = (k2² - 3·k2 + 1

Cancelamos:

k2² = k2² - 3·k2 + 1

Despejamos k2:

0 = -3·k2 + 1

3·k2 = 1

k2 =1
3

Aplicamos nuevamente la ecuación (1) con el resultado hallado de "k":

x1,2 =k ± k² - 3·k + 1
3
k1 = k2 =1
3
x1,2 =⅓ ± ⅓² - 3·⅓ + 1
3
x1,2 =⅓ ± ⅓² - 1 + 1
3
x1,2 =⅓ ± ⅓²
3
x1,2 =⅓ ± ⅓
3
x1,2 =1 ± 1
9
x1 =1 + 1
9
x2 =1 - 1
9

Resultado, el valor de "k" es:

k =1
3

Las raíces son:

x1 =2
9

x2 = 0

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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