Ejemplo, cómo resolver ecuaciones cuadraticas

Problema n° 2 de ecuaciones de segundo grado - TP01

Enunciado del ejercicio n° 2

Dada la ecuación 18·x² - 12·k·x + (6·k - 2) = 0, determinar el valor de "k" para que:

a) Sus raíces sean iguales.

b) Sus raíces sean opuestas.

c) Sus raíces sean recíprocas.

d) Una de sus raíces sea nula.

Desarrollo

Datos:

18·x² - 12·k·x + (6·k - 2) = 0

Fórmulas:

Ecuación de Báscara o Bhaskara:

x_1,2 =	-b ± √b² - 4·a·c
	2·a

Solución

Extraemos factor común "2":

2·[9·x² - 6·k·x + (3·k - 1)] = 0

9·x² - 6·k·x + (3·k - 1) = 0

Aplicamos la ecuación, siendo:

a = 9

b = -6·k

c = 3·k - 1

x_1,2 =	-(-6·k) ± √(-6·k)² - 4·9·(3·k - 1)
	2·9

x_1,2 =	6·k ± √36·k² - 36·(3·k - 1)
	18

Extraemos factor común "36" dentro de la raíz:

x_1,2 =	6·k ± √36·[k² - (3·k - 1)]
	18

Extraemos "6" de la raíz:

x_1,2 =	6·k ± 6·√k² - 3·k + 1
	18

Simplificamos:

x_1,2 =	k ± √k² - 3·k + 1	(1)
	3

Usaremos esta ecuación para los cálculos.

a)

Para que sus raíces sean iguales:

x₁ = x₂

Entonces, de la ecuación (1):

k + √k² - 3·k + 1	=	k - √k² - 3·k + 1
3	=	3

Simplificamos:

k + √k² - 3·k + 1	=	k - √k² - 3·k + 1
3	=	3

√k² - 3·k + 1 = -√k² - 3·k + 1

Igualamos a cero:

√k² - 3·k + 1 + √k² - 3·k + 1 = 0

2·√k² - 3·k + 1 = 0

√k² - 3·k + 1 = 0

k² - 3·k + 1 = 0

k_1,2 =	-b ± √b² - 4·a·c
	2·a

Siendo:

a = 1

b = -3

c = 1

k_1,2 =	-(-3) ± √(-3)² - 4·1·1
	2·1

k_1,2 =	3 ± √9 - 4
	2

k_1,2 =	3 ± √5
	2

Obtenemos dos resultados para "k":

k₁ =	3 + √5
	2

k₁ = 2,6180

k₂ =	3 - √5
	2

k₂ = 0,3820

Aplicamos nuevamente la ecuación (1) con los resultados hallados de "k":

x_1,2 =	k ± √k² - 3·k + 1
	3

Para k₁:

x_1,2 =	k₁ ± √k₁² - 3·k₁ + 1
	3

x_1,2 =	2,6180 ± √2,6180² - 3·2,6180 + 1
	3

x_1,2 =	2,6180 ± √6,8541 - 7,8541 + 1
	3

x_1,2 =	2,6180 ± √0
	3

x_1,2 =	2,6180
	3

x_1,2 = 0,8727

Para k₂:

x_3,4 =	k₂ ± √k₂² - 3·k₂ + 1
	3

x_3,4 =	0,3820 ± √0,3820² - 3·0,3820 + 1
	3

x_3,4 =	0,3820 ± √0,1459 - 1,1459 + 1
	3

x_3,4 =	0,3820 ± √0
	3

x_3,4 =	0,3820
	3

x_3,4 = 0,1273

Resultado:

k₁ = 2,6180

k₂ = 0,3820

Para k₁, las raíces son:

x₁ = x₂ = 0,8727

Para k₂, las raíces son:

x₃ = x₄ = 0,1273

b)

Para que sus raíces sean opuestas:

x₁ + x₂ = 0

Entonces, de la ecuación (1):

k + √k² - 3·k + 1	= -	k - √k² - 3·k + 1
3	= -	3

Simplificamos:

k + √k² - 3·k + 1	=	-k + √k² - 3·k + 1
3	=	3

k + √k² - 3·k + 1 = -k + √k² - 3·k + 1

k = - k

2·k = 0

k = 0

Aplicamos nuevamente la ecuación (1) con el resultado hallado de "k":

x_1,2 =	k ± √k² - 3·k + 1
	3

x_1,2 =	0 ± √0² - 3·0 + 1
	3

x_1,2 =	± √1
	3

Resultado, el valor de "k" es:

k = 0

Las raíces son:

x₁ =	1
	3

x₂ = -	1
	3

c)

Para que sus raíces sean recíprocas:

x₁·x₂ = 1

Entonces, de la ecuación (1):

k + √k² - 3·k + 1	=	3
3	=	k - √k² - 3·k + 1

(k + √k² - 3·k + 1)·(k - √k² - 3·k + 1) = 3·3

Resolvemos:

k² - (√k² - 3·k + 1)² = 9

k² - k² + 3·k - 1 = 9

3·k - 1 = 9

Despejamos "k":

3·k = 9 + 1

3·k = 10

k =	10
	3

Aplicamos nuevamente la ecuación (1) con el resultado hallado de "k":

x_1,2 =	k ± √k² - 3·k + 1
	3

x_1,2 =	10/3 ± √(10/3)² - 3·(10/3) + 1
	3

x_1,2 =	10/3 ± √100/9 - 10 + 1
	3

x_1,2 =	10/3 ± √100/9 - 9
	3

x_1,2 =	10/3 ± √(100 - 81)/9
	3

x_1,2 =	10/3 ± √19/9
	3

Extraemos "⅑" de la raíz:

x_1,2 =	10/3 ± ⅓·√19
	3

x_1,2 =	10 ± √19
	9

Resultado, el valor de "k" es:

k =	10
	3

Las raíces son:

x₁ =	10 + √19
	9

x₂ =	10 - √19
	9

d)

Para que una de sus raíces sea nula:

x₁ = 0 ∨ x₂ = 0

Entonces, de la ecuación (1):

x₁ =	k₁ + √k₁² - 3·k₁ + 1	= 0
	3

∨

x₂ =	k₂ - √k₂² - 3·k₂ + 1	= 0
	3

Calculamos para x₁:

k₁ + √k₁² - 3·k₁ + 1	= 0
3

k₁ + √k₁² - 3·k₁ + 1 = 0

k₁ = -√k₁² - 3·k₁ + 1

Elevamos ambos términos al cuadrado para eliminar la raíz:

k₁² = (-√k₁² - 3·k₁ + 1)²

Cancelamos:

k₁² = k₁² - 3·k₁ + 1

Despejamos k₁:

0 = -3·k₁ + 1

3·k₁ = 1

k₁ =	1
	3

Calculamos para x₂:

k₂ - √k₂² - 3·k₂ + 1	= 0
3

k₂ - √k₂² - 3·k₂ + 1 = 0

k₂ = √k₂² - 3·k₂ + 1

Elevamos ambos términos al cuadrado para eliminar la raíz:

k₂² = (√k₂² - 3·k₂ + 1)²

Cancelamos:

k₂² = k₂² - 3·k₂ + 1

Despejamos k₂:

0 = -3·k₂ + 1

3·k₂ = 1

k₂ =	1
	3

Aplicamos nuevamente la ecuación (1) con el resultado hallado de "k":

x_1,2 =	k ± √k² - 3·k + 1
	3

k₁ = k₂ =	1
	3

x_1,2 =	⅓ ± √⅓² - 3·⅓ + 1
	3

x_1,2 =	⅓ ± √⅓² - 1 + 1
	3

x_1,2 =	⅓ ± √⅓²
	3

x_1,2 =	⅓ ± ⅓
	3

x_1,2 =	1 ± 1
	9

x₁ =	1 + 1
	9

x₂ =	1 - 1
	9

Resultado, el valor de "k" es:

k =	1
	3

Las raíces son:

x₁ =	2
	9

x₂ = 0

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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