Ejemplo, cómo generar ecuaciones cuadraticas partiendo de sus raíces
Problema n° 4 de ecuaciones de segundo grado - TP01
Enunciado del ejercicio n° 4
Obtener las ecuaciones cuyas raíces son:
a) x1 = ⅓ ∧ x2 = -3/2
b) x1 = -½ + 2·i ∧ x2 = -½ - 2·i
c) x1 = 0 ∧ x2 = -4/3
Solución
a)
x1 = ⅓ ∧ x2 = -3/2
Armamos la ecuación en forma de producto de binomios:
y = (x - x1)·(x - x2)
Reemplazamos por las raíces cuidando los signos:
| y = (x - | 1 | )·[x - (- | 3 | )] |
| 3 | 2 |
Desarrollamos el producto:
| y = (x - | 1 | )·(x + | 3 | ) |
| 3 | 2 |
| y = | 3·x - 1 | · | 2·x + 3 |
| 3 | 2 |
| y = | (3·x - 1)·(2·x + 3) |
| 3·2 |
| y = | 3·x·2·x + 3·x·3 - 1·2·x - 1·3 |
| 6 |
| y = | 6·x² + 9·x - 2·x - 3 |
| 6 |
| y = | 6·x² + 7·x - 3 |
| 6 |
Distribuimos el denominador:
| y = | 6·x² | + | 7·x | - | 3 |
| 6 | 6 | 6 |
Simplificamos:
| y = x² + | 7·x | - | 1 |
| 6 | 3 |
Expresamos el resultado:
| y = x² + | 7·x | - | 1 |
| 6 | 3 |
b)
x1 = -½ + 2·i ∧ x2 = -½ - 2·i
En este caso tenemos raíces complejas. Armamos la ecuación en forma de producto de binomios:
y = (x - x1)·(x - x2)
Reemplazamos por las raíces cuidando los signos:
y = [x - (-½ + 2·i)]·[x - (-½ - 2·i)]
Desarrollamos el producto:
y = (x + ½ - 2·i)·(x + ½ + 2·i)
| y = | 2·x + 1 - 2·2·i | · | 2·x + 1 + 2·2·i |
| 2 | 2 |
| y = | 2·x + 1 - 4·i | · | 2·x + 1 + 4·i |
| 2 | 2 |
Agrupamos para aplicar diferencia de cuadrados:
| y = | [(2·x + 1) - 4·i]·[(2·x + 1) + 4·i] |
| 2·2 |
| y = | (2·x + 1)² - (4·i)² |
| 4 |
De esta forma eliminamos fácilmente la parte imaginaria del complejo.
| y = | 4·x² + 4·x + 1 - 16·i² |
| 4 |
i² = -1
| y = | 4·x² + 4·x + 1 - 16·(-1) |
| 4 |
| y = | 4·x² + 4·x + 1 + 16 |
| 4 |
| y = | 4·x² + 4·x + 17 |
| 4 |
Distribuimos el denominador:
| y = | 4·x² | + | 4·x | + | 17 |
| 4 | 4 | 4 |
Simplificamos:
| y = x² + x + | 17 |
| 4 |
Expresamos el resultado:
| y = x² + x + | 17 |
| 4 |
c)
x1 = 0 ∧ x2 = -4/3
Armamos la ecuación en forma de producto de binomios:
y = (x - x1)·(x - x2)
Reemplazamos por las raíces cuidando los signos:
| y = (x - 0)·[x - (- | 4 | )] |
| 3 |
Desarrollamos el producto:
| y = x·(x + | 4 | ) |
| 3 |
| y = x· | 3·x + 4 |
| 3 |
| y = | 3·x² + 4·x |
| 3 |
Distribuimos el denominador:
| y = | 3·x² | + | 4·x |
| 3 | 3 |
Simplificamos:
| y = x² + | 4·x |
| 3 |
Expresamos el resultado:
| y = x² + | 4·x |
| 3 |
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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