Fisicanet ®

Ejemplo, cómo generar ecuaciones cuadraticas partiendo de sus raíces

Problema n° 4 de ecuaciones de segundo grado

Enunciado del ejercicio n° 4

Obtener las ecuaciones cuyas raíces son:

a) x1 = ⅓ ∧ x2 = -3/2

b) x1 = -½ + 2·i ∧ x2 = -½ - 2·i

c) x1 = 0 ∧ x2 = -4/3

Solución

a)

x1 = ⅓ ∧ x2 = -3/2

Armamos la ecuación en forma de producto de binomios:

y = (x - x1)·(x - x2)

Reemplazamos por las raíces cuidando los signos:

y = (x -1)·[x - (-3)]
32

Desarrollamos el producto:

y = (x -1)·(x +3)
32
y =3·x - 1·2·x + 3
32
y =(3·x - 1)·(2·x + 3)
3·2
y =3·x·2·x + 3·x·3 - 1·2·x - 1·3
6
y =6·x² + 9·x - 2·x - 3
6
y =6·x² + 7·x - 3
6

Distribuimos el denominador:

y =6·x²+7·x-3
666

Simplificamos:

y = x² +7·x-1
63

Expresamos el resultado:

y = x² +7·x-1
63

b)

x1 = -½ + 2·i ∧ x2 = -½ - 2·i

En este caso tenemos raíces complejas. Armamos la ecuación en forma de producto de binomios:

y = (x - x1)·(x - x2)

Reemplazamos por las raíces cuidando los signos:

y = [x - (-½ + 2·i)]·[x - (-½ - 2·i)]

Desarrollamos el producto:

y = (x + ½ - 2·i)·(x + ½ + 2·i)

y =2·x + 1 - 2·2·i·2·x + 1 + 2·2·i
22
y =2·x + 1 - 4·i·2·x + 1 + 4·i
22

Agrupamos para aplicar diferencia de cuadrados:

y =[(2·x + 1) - 4·i]·[(2·x + 1) + 4·i]
2·2
y =(2·x + 1)² - (4·i)²
4

De esta forma eliminamos fácilmente la parte imaginaria del complejo.

y =4·x² + 4·x + 1 - 16·i²
4

i² = -1

y =4·x² + 4·x + 1 - 16·(-1)
4
y =4·x² + 4·x + 1 + 16
4
y =4·x² + 4·x + 17
4

Distribuimos el denominador:

y =4·x²+4·x+17
444

Simplificamos:

y = x² + x +17
4

Expresamos el resultado:

y = x² + x +17
4

c)

x1 = 0 ∧ x2 = -4/3

Armamos la ecuación en forma de producto de binomios:

y = (x - x1)·(x - x2)

Reemplazamos por las raíces cuidando los signos:

y = (x - 0)·[x - (-4)]
3

Desarrollamos el producto:

y = x·(x +4)
3
y = x·3·x + 4
3
y =3·x² + 4·x
3

Distribuimos el denominador:

y =3·x²+4·x
33

Simplificamos:

y = x² +4·x
3

Expresamos el resultado:

y = x² +4·x
3

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

Ver condiciones para uso de los contenidos de fisicanet.com.ar

Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso.

Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.